62° α 70° α 69° α a) 6) B) α 115° г) 332. а) В треугольнике АВС биссектрисы углов А и В пересекаются в точке Ѕ. Найдите ∠BSA, если ∠ABC = 50°, ∠CAB = 72° б) В треугольнике РМК биссектрисы углов Р и М пересекаются в точке О. Найдите ∠POM, если РМК = 64°, ∠MPK = 58° . в) В равностороннем треугольнике АВС высоты, проведённые из вершин углов А и С, пере- секаются в точке Ѕ. Найдите ∠ASC. г) В равностороннем треугольнике РМК медианы, проведённые из вершин углов Р и К, пе- ресекаются в точке О. Найдите ∠КОР 333. а) В прямоугольном треугольнике угол между биссектрисой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 18°. Найдите больший из двух острых углов треугольника. 6) В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вер- шины прямого угла, равен 32°. Найдите меньший из двух острых углов треугольника. в) В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 26°. Найдите больший из двух острых углов треугольника. 103

332. a)

В треугольнике ABC биссектрисы углов A и B пересекаются в точке S. Найдите ∠BSA, если ∠ABC = 50°, ∠CAB = 72°.

Решение:

1. Найдем сумму углов A и B: ∠A + ∠B = 72° + 50° = 122°
2. Сумма половин углов A и B равна: (∠A + ∠B) / 2 = 122° / 2 = 61°
3. Угол ∠BSA равен: ∠BSA = 180° - 61° = 119°

Ответ: ∠BSA = 119°

332. б)

В треугольнике PMK биссектрисы углов P и M пересекаются в точке O. Найдите ∠POM, если ∠PMK = 64°, ∠MPK = 58°.

Решение:

1. Найдем сумму углов P и M: ∠P + ∠M = 58° + 64° = 122°
2. Сумма половин углов P и M равна: (∠P + ∠M) / 2 = 122° / 2 = 61°
3. Угол ∠POM равен: ∠POM = 180° - 61° = 119°

Ответ: ∠POM = 119°

332. в)

В равностороннем треугольнике ABC высоты, проведённые из вершин углов A и C, пересекаются в точке S. Найдите ∠ASC.

Решение:

1. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°.
2. Высоты, проведённые из вершин, образуют прямоугольные треугольники.
3. Рассмотрим четырехугольник, образованный высотами и сторонами треугольника. Сумма углов четырехугольника равна 360°.
4. Два угла в этом четырехугольнике равны 90° (высоты).
5. Угол равностороннего треугольника равен 60°.
6. ∠ASC = 360° - 90° - 90° - 60° = 120°

Ответ: ∠ASC = 120°

332. г)

В равностороннем треугольнике PMK медианы, проведённые из вершин углов P и K, пересекаются в точке O. Найдите ∠KOP.

Решение:

1. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°.
2. Медианы в равностороннем треугольнике также являются высотами и биссектрисами.
3. Угол между медианами равен углу между высотами, которые мы нашли в предыдущей задаче.
4. ∠KOP = 120°

Ответ: ∠KOP = 120°

333. а)

В прямоугольном треугольнике угол между биссектрисой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 18°. Найдите больший из двух острых углов треугольника.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Следовательно, она также является радиусом описанной окружности.
2. Медиана делит прямой угол на два угла, один из которых равен 45°.
3. Угол между биссектрисой и медианой равен 18°, следовательно, угол между биссектрисой и катетом равен 45° - 18° = 27°.
4. Так как биссектриса делит прямой угол пополам, угол между биссектрисой и другим катетом равен 45°.
5. Острый угол, образованный биссектрисой и катетом, равен 27°, тогда другой острый угол равен 90° - 27° = 63°.
6. Второй острый угол равен 45° + 18° = 63°.
7. Больший острый угол равен 63° + 27° = 63°.

Ответ: Больший угол равен 63°

333. б)

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 32°. Найдите меньший из двух острых углов треугольника.

Решение:

1. Угол между медианой и высотой равен 32°.
2. Медиана делит прямой угол на два угла, один из которых равен 45°.
3. Угол между высотой и катетом равен 45° - 32° = 13°.
4. Меньший острый угол равен 13°.

Ответ: Меньший угол равен 13°

333. в)

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 26°. Найдите больший из двух острых углов треугольника.

Решение:

1. Угол между высотой и биссектрисой равен 26°.
2. Угол между биссектрисой и катетом равен 45°.
3. Угол между высотой и катетом равен 45° - 26° = 19°.
4. Больший острый угол равен 90° - 19° = 71°.

Ответ: Больший угол равен 71°