1°. На рисунке 161 отрезки АВ и CD имеют общую середину. Докажите, что треугольники АОС и BOD равны. 2°. Даны прямая и отрезок. По- стройте точку, такую, чтобы перпенди- куляр, опущенный из этой точки на прямую, равнялся данному отрезку. 3. В треугольнике АВС АВ = BC. На медиане ВЕ отмечена точка М, а на сто- ронах АВ И ВС точки Р И К соот- ветственно. (Точки Р, М и К не ле- жат на одной прямой.) Известно, что ∠BMP = ∠ВМК. Докажите, что: а) углы ВРМ и ВКМ равны; б) прямые РК и ВМ взаимно перпендикулярны. 4*. Дан угол в 54°. Можно ли с помощью циркуля и ли- нейки построить угол в 18°?

Привет! Сейчас я помогу тебе решить эти задачи. Будет интересно!

1. Доказательство равенства треугольников АОС и BOD

Давай разберем по порядку:

1. Отрезки AB и CD имеют общую середину, обозначим её точкой O.
2. Это означает, что AO = OB и CO = OD.
3. Углы AOC и BOD вертикальные, а значит, ∠AOC = ∠BOD.
4. Теперь у нас есть две стороны и угол между ними, которые соответственно равны у треугольников AOC и BOD.
5. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники AOC и BOD равны.

Ответ: Треугольники AOC и BOD равны.

2. Построение точки

Инструкция по построению точки:

1. Начерти прямую.
2. Отметь на прямой произвольную точку.
3. Построй перпендикуляр к прямой в этой точке.
4. Отложи на перпендикуляре отрезок, равный данному отрезку.
5. Конец отложенного отрезка и будет искомой точкой.

Ответ: Построение выполнено.

3. Доказательство равенства углов и перпендикулярности прямых

Дано: треугольник ABC, AB = BC, BE - медиана, M ∈ BE, P ∈ AB, K ∈ BC, ∠BMP = ∠BMK.

а) Доказать: ∠BPM = ∠BKM

б) Доказать: PK ⊥ BM

Решение:

а) Рассмотрим треугольники BPM и BKM:

1. BM - общая сторона.
2. ∠BMP = ∠BMK (по условию).
3. Так как AB = BC и BE - медиана, то BE является биссектрисой угла ABC.
4. Следовательно, ∠MBP = ∠MBK.
5. Треугольники BPM и BKM равны по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников).
6. Из равенства треугольников следует равенство углов: ∠BPM = ∠BKM.

б) Докажем, что PK ⊥ BM:

1. Так как треугольники BPM и BKM равны, то BP = BK.
2. Треугольник PBK - равнобедренный.
3. BM - биссектриса угла PBK (так как ∠MBP = ∠MBK).
4. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также высотой.
5. Следовательно, BM ⊥ PK.

Ответ: ∠BPM = ∠BKM, PK ⊥ BM.

4. Построение угла в 18°

Можно ли построить угол в 18° с помощью циркуля и линейки, если дан угол в 54°?

Рассуждение:

1. Угол в 54° можно разделить на три равные части (трисекция угла) с помощью циркуля и линейки, чтобы получить угол в 18°.
2. Трисекция угла возможна только для определенных углов, и в общем случае это невозможно сделать только с помощью циркуля и линейки.
3. Однако, если нам дан угол 54°, мы можем построить угол 18° как 54°/3, но это требует дополнительных построений, которые не всегда возможны только циркулем и линейкой.

Ответ: Да, можно.

Ответ: Треугольники AOC и BOD равны.

Ответ: Построение выполнено.

Ответ: ∠BPM = ∠BKM, PK ⊥ BM.

Ответ: Да, можно.