1°. Упростите выражение: a) (x-3) (x-7) - 2x (3x-5); б) 4 a (a-2)-(a-4)2; в) 2 (m + 1)²-4m. 2°. Разложите на множители: a) x³-9x; б) -5a²-10ab-5b². 3. Упростите выражение (у² - 2y)² - y²(y + 3)(y - 3) + 2y(2y² + 5). 4. Разложите на множители: a) 16x⁴-81; б) x²-x-y²-y. 5. Докажите, что выражение х² - 4х + 9 при любых значениях х принимает положительные значения.

1°. Упростите выражение:

a) \( (x-3)(x-7) - 2x(3x-5) = x^2 - 7x - 3x + 21 - 6x^2 + 10x = -5x^2 + 21 \)

б) \( 4a(a-2) - (a-4)^2 = 4a^2 - 8a - (a^2 - 8a + 16) = 4a^2 - 8a - a^2 + 8a - 16 = 3a^2 - 16 \)

в) \( 2(m+1)^2 - 4m = 2(m^2 + 2m + 1) - 4m = 2m^2 + 4m + 2 - 4m = 2m^2 + 2 \)

2°. Разложите на множители:

a) \( x^3 - 9x = x(x^2 - 9) = x(x-3)(x+3) \)

б) \( -5a^2 - 10ab - 5b^2 = -5(a^2 + 2ab + b^2) = -5(a+b)^2 \)

3. Упростите выражение:

\( (y^2 - 2y)^2 - y^2(y+3)(y-3) + 2y(2y^2 + 5) = \)
\( = y^4 - 4y^3 + 4y^2 - y^2(y^2 - 9) + 4y^3 + 10y = \)
\( = y^4 - 4y^3 + 4y^2 - y^4 + 9y^2 + 4y^3 + 10y = 13y^2 + 10y \)

4. Разложите на множители:

a) \( 16x^4 - 81 = (4x^2 - 9)(4x^2 + 9) = (2x - 3)(2x + 3)(4x^2 + 9) \)

б) \( x^2 - x - y^2 - y = x^2 - y^2 - (x + y) = (x - y)(x + y) - (x + y) = (x + y)(x - y - 1) \)

5. Докажите, что выражение х² - 4х + 9 при любых значениях х принимает положительные значения.

Преобразуем выражение, выделив полный квадрат: \( x^2 - 4x + 9 = x^2 - 4x + 4 + 5 = (x - 2)^2 + 5 \)

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то \( (x - 2)^2 \) ≥ 0 для любого x.

Следовательно, \( (x - 2)^2 + 5 \) ≥ 5 > 0 для любого x.

Ответ: Выражение всегда принимает положительные значения.