54.21.° В трёх вершинах равностороннего треугольника со сторо- ной а расположены три протона. Определите скорость и протонов после их разлёта (на бесконечности). Какими будут скорости и, если располо- жить четыре протона в четырёх вершинах квадрата со стороной а? [v=e\sqrt{\frac{2k}{ma}} ; v_{1}=e\sqrt{\frac{k}{ma}}(2+\frac{1}{\sqrt{2}}), где k = \frac{1}{4πε_{0}} e элементарный заряд, т масса протона ]

Ответ: v=e\sqrt{\frac{2k}{ma}} ; v_{1}=e\sqrt{\frac{k}{ma}}(2+\frac{1}{\sqrt{2}})

Решение:

1. Первый случай: три протона в вершинах равностороннего треугольника.Когда протоны разлетятся на бесконечность, их кинетическая энергия будет равна работе, совершенной кулоновскими силами отталкивания.
2. Начальная потенциальная энергия системы: \[U = \frac{k e^2}{a} + \frac{k e^2}{a} + \frac{k e^2}{a} = \frac{3 k e^2}{a}\]
3. Конечная кинетическая энергия системы (три протона): \[3 \cdot \frac{1}{2} m v^2\]
4. Закон сохранения энергии: \[\frac{3 k e^2}{a} = 3 \cdot \frac{1}{2} m v^2\]
5. Выражаем скорость: \[v = e \sqrt{\frac{2k}{ma}}\]
6. Второй случай: четыре протона в вершинах квадрата.Начальная потенциальная энергия системы: \[U = 4 \cdot \frac{k e^2}{a} + 2 \cdot \frac{k e^2}{a \sqrt{2}} = \frac{k e^2}{a} \left(4 + \sqrt{2}\right)\]
7. Конечная кинетическая энергия системы (четыре протона): \[4 \cdot \frac{1}{2} m v_1^2\]
8. Закон сохранения энергии: \[\frac{k e^2}{a} \left(4 + \sqrt{2}\right) = 4 \cdot \frac{1}{2} m v_1^2\]
9. Выражаем скорость: \[v_1 = e \sqrt{\frac{k}{ma}} \left(2 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\]

Ответ: v=e\sqrt{\frac{2k}{ma}} ; v_{1}=e\sqrt{\frac{k}{ma}}(2+\frac{1}{\sqrt{2}})