(-3)²(x+1) / x²+x-12 ≤ 0

Разбираемся:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Разложим знаменатель на множители:

\[x^2 + x - 12 = (x-3)(x+4)\]

2. Шаг 2: Запишем неравенство в виде:

\[\frac{(-3)^2(x+1)}{(x-3)(x+4)} ≤ 0\]

3. Шаг 3: Так как \((-3)^2 = 9\) — положительное число, можем упростить неравенство:

\[\frac{9(x+1)}{(x-3)(x+4)} ≤ 0\]

4. Шаг 4: Разделим обе части неравенства на 9:

\[\frac{(x+1)}{(x-3)(x+4)} ≤ 0\]

5. Шаг 5: Найдем нули числителя:

\[x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\]

6. Шаг 6: Найдем нули знаменателя:

\[x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\]

\[x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4\]

7. Шаг 7: Расставим найденные значения на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

• \(x = -4\)
• \(x = -1\)
• \(x = 3\)

8. Шаг 8: Рассматриваем интервалы:

• \((-\infty; -4)\): Выберем \(x = -5\). Тогда \(\frac{(-5+1)}{(-5-3)(-5+4)} = \frac{-4}{(-8)(-1)} = \frac{-4}{8} < 0\)
• \((-4; -1)\): Выберем \(x = -2\). Тогда \(\frac{(-2+1)}{(-2-3)(-2+4)} = \frac{-1}{(-5)(2)} = \frac{-1}{-10} > 0\)
• \((-1; 3)\): Выберем \(x = 0\). Тогда \(\frac{(0+1)}{(0-3)(0+4)} = \frac{1}{(-3)(4)} = \frac{1}{-12} < 0\)
• \((3; +\infty)\): Выберем \(x = 4\). Тогда \(\frac{(4+1)}{(4-3)(4+4)} = \frac{5}{(1)(8)} = \frac{5}{8} > 0\)

9. Шаг 9: Определим интервалы, где функция меньше или равна нулю:

\[(-\infty; -4) \cup [-1; 3)\]

Ответ: \[x \in (-\infty; -4) \cup [-1; 3)\]