1) 2³⁺ˣ < 1 2) 4⁵⁻ˣ ≥ 1/4 3) 2²ˣ ≤ 64½ 4) 2²⁺ˣ > ³√8 5) 5²⁺ˣ ≥ -125

Решим каждое неравенство по порядку.

1. $$2^{3+x} < 1$$
   $$2^{3+x} < 2^0$$
   Т.к. основание степени 2 > 1, то функция $$y = 2^t$$ является возрастающей, следовательно, можем перейти к сравнению показателей:
   $$3+x < 0$$
   $$x < -3$$
   
2. $$4^{5-x} \ge \frac{1}{4}$$ $$4^{5-x} \ge 4^{-1}$$ Т.к. основание степени 4 > 1, то функция $$y = 4^t$$ является возрастающей, следовательно, можем перейти к сравнению показателей:
   $$5-x \ge -1$$
   $$-x \ge -6$$
   $$x \le 6$$
3. $$2^{2x} \le 64^{\frac{1}{2}}$$ $$2^{2x} \le (2^6)^{\frac{1}{2}}$$ $$2^{2x} \le 2^{6 \cdot \frac{1}{2}}$$ $$2^{2x} \le 2^3$$ Т.к. основание степени 2 > 1, то функция $$y = 2^t$$ является возрастающей, следовательно, можем перейти к сравнению показателей:
   $$2x \le 3$$
   $$x \le \frac{3}{2}$$
4. $$2^{2+x} > \sqrt[3]{8}$$ $$2^{2+x} > \sqrt[3]{2^3}$$ $$2^{2+x} > 2^1$$ Т.к. основание степени 2 > 1, то функция $$y = 2^t$$ является возрастающей, следовательно, можем перейти к сравнению показателей:
   $$2+x > 1$$ $$x > -1$$
5. $$5^{2+x} \ge -125$$ Показательная функция всегда больше нуля, поэтому неравенство выполняется при любых x.

Ответ: 1) $$x < -3$$, 2) $$x \le 6$$, 3) $$x \le \frac{3}{2}$$, 4) $$x > -1$$, 5) $$x \in R$$