3) {³√x - ³√y=2 (x - y = 56 (20 баллов).

Разбираемся:

Пошаговое решение:

1. Замена переменной: Пусть \( a = \sqrt[3]{x} \) и \( b = \sqrt[3]{y} \). Тогда наша система уравнений принимает вид: \[\begin{cases} a - b = 2 \\ a^3 - b^3 = 56 \end{cases}\]
2. Разность кубов: Второе уравнение можно разложить, используя формулу разности кубов: \[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \] Подставляем известные значения: \[ 56 = 2(a^2 + ab + b^2) \] Делим обе части на 2: \[ a^2 + ab + b^2 = 28 \]
3. Выражаем a через b: Из первого уравнения \( a - b = 2 \) выражаем \( a \): \[ a = b + 2 \]
4. Подстановка: Подставляем это выражение в уравнение \( a^2 + ab + b^2 = 28 \): \[ (b + 2)^2 + (b + 2)b + b^2 = 28 \] Раскрываем скобки и упрощаем: \[ b^2 + 4b + 4 + b^2 + 2b + b^2 = 28 \] \[ 3b^2 + 6b + 4 = 28 \] \[ 3b^2 + 6b - 24 = 0 \] Делим на 3: \[ b^2 + 2b - 8 = 0 \]
5. Решение квадратного уравнения: Решаем квадратное уравнение \( b^2 + 2b - 8 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = 2^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \] Тогда: \[ b = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2} \] Имеем два решения для \( b \): \[ b_1 = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \quad \text{и} \quad b_2 = \frac{-2 - 6}{2} = -4 \]
6. Находим a: Для \( b_1 = 2 \): \( a_1 = b_1 + 2 = 2 + 2 = 4 \) Для \( b_2 = -4 \): \( a_2 = b_2 + 2 = -4 + 2 = -2 \)
7. Находим x и y: Поскольку \( a = \sqrt[3]{x} \) и \( b = \sqrt[3]{y} \), то \( x = a^3 \) и \( y = b^3 \). Для первой пары \( a_1 = 4 \) и \( b_1 = 2 \): \[ x_1 = 4^3 = 64 \quad \text{и} \quad y_1 = 2^3 = 8 \] Для второй пары \( a_2 = -2 \) и \( b_2 = -4 \): \[ x_2 = (-2)^3 = -8 \quad \text{и} \quad y_2 = (-4)^3 = -64 \]

Ответ: (64; 8) и (-8; -64)