14) 7ˣ+7²ˣ=12 15) 8ˣ⁺¹ - 8²ˣ⁻¹-30=0

Ответ:

Решение задания 14

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

7ˣ + 7²ˣ = 12

Заметим, что 7²ˣ = (7ˣ)²

Пусть y = 7ˣ, тогда уравнение примет вид:

y + y² = 12

y² + y - 12 = 0

Решаем квадратное уравнение:

D = 1² - 4*1*(-12) = 1 + 48 = 49

y₁ = (-1 + √49) / 2 = (-1 + 7) / 2 = 6 / 2 = 3

y₂ = (-1 - √49) / 2 = (-1 - 7) / 2 = -8 / 2 = -4

Возвращаемся к замене:

7ˣ = 3

x = log₇(3)

7ˣ = -4 (не имеет решений, так как 7ˣ всегда положительно)

Ответ: x = log₇(3)

Решение задания 15

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

8ˣ⁺¹ - 8²ˣ⁻¹ - 30 = 0

8ˣ * 8¹ - 8²ˣ / 8¹ - 30 = 0

Пусть z = 8ˣ, тогда уравнение примет вид:

8z - z² / 8 - 30 = 0

Умножаем обе части на 8, чтобы избавиться от дроби:

64z - z² - 240 = 0

z² - 64z + 240 = 0

Решаем квадратное уравнение:

D = (-64)² - 4*1*240 = 4096 - 960 = 3136

z₁ = (64 + √3136) / 2 = (64 + 56) / 2 = 120 / 2 = 60

z₂ = (64 - √3136) / 2 = (64 - 56) / 2 = 8 / 2 = 4

Возвращаемся к замене:

8ˣ = 60

x = log₈(60)

8ˣ = 4

x = log₈(4) = log₈(8^(2/3)) = 2/3

Ответ: x = log₈(60) или x = 2/3

Ответ: x = log₇(3); x = log₈(60) или x = 2/3