{4ˣ+16⋅4⁻ˣ≥17, 2log₃₆ (16x²+1) ≤log₆(12x²+8x+1)

Решим каждое неравенство отдельно.

1) $$4^x + 16 \cdot 4^{-x} \geq 17$$

Пусть $$t = 4^x$$, тогда $$t > 0$$.

$$t + \frac{16}{t} \geq 17$$

$$t^2 + 16 \geq 17t$$

$$t^2 - 17t + 16 \geq 0$$

$$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 289 - 64 = 225 = 15^2$$

$$t_1 = \frac{17 - 15}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

$$t_2 = \frac{17 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16$$

$$t \in (-\infty; 1] \cup [16; +\infty)$$

Так как $$t > 0$$, то $$t \in (0; 1] \cup [16; +\infty)$$

Вернёмся к замене:

$$4^x \leq 1$$ или $$4^x \geq 16$$

$$4^x \leq 4^0$$ или $$4^x \geq 4^2$$

$$x \leq 0$$ или $$x \geq 2$$

$$x \in (-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$$

2) $$2 \log_{36} (16x^2 + 1) \leq \log_6 (12x^2 + 8x + 1)$$.

ОДЗ: $$16x^2 + 1 > 0$$ и $$12x^2 + 8x + 1 > 0$$

ОДЗ выполняется при любых $$x$$, т.к. $$16x^2+1$$ всегда больше нуля.

$$2 \log_{36} (16x^2 + 1) \leq \log_6 (12x^2 + 8x + 1)$$.

$$\log_{6^2} (16x^2 + 1)^2 \leq \log_6 (12x^2 + 8x + 1)$$.

$$\frac{1}{2} \log_{6} (16x^2 + 1)^2 \leq \log_6 (12x^2 + 8x + 1)$$.

$$\log_{6} \sqrt{16x^2 + 1} \leq \log_6 (12x^2 + 8x + 1)$$.

$$\sqrt{16x^2 + 1} \leq 12x^2 + 8x + 1$$

Возведём обе части в квадрат:

$$16x^2 + 1 \leq (12x^2 + 8x + 1)^2$$

$$16x^2 + 1 \leq 144x^4 + 64x^2 + 1 + 192x^3 + 24x^2 + 16x$$

$$144x^4 + 192x^3 + 72x^2 + 16x \geq 0$$

$$16x (9x^3 + 12x^2 + 4.5x + 1) \geq 0$$

$$16x(x+1)(9x^2 + 3x + 1.5) \geq 0$$

$$x(x+1)(9x^2 + 3x + 1.5) \geq 0$$

$$x = 0$$ или $$x = -1$$

$$9x^2 + 3x + 1.5 = 0$$

$$D = 9 - 4 \cdot 9 \cdot 1.5 = 9 - 54 < 0$$, значит, действительных корней нет.

$$x \in (-\infty; -1] \cup [0; +\infty)$$

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств:

$$x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty) \cup \{0\}$$

Ответ: $$x \in (-\infty; -1] \cup \{0\} \cup [2; +\infty)$$.