64ˣ - 8ˣ - 56 = 0

Для решения уравнения $$64^x - 8^x - 56 = 0$$, необходимо привести все члены уравнения к одному основанию степени. 1. Заметим, что $$64 = 8^2$$, поэтому $$64^x = (8^2)^x = 8^{2x} = (8^x)^2$$. 2. Перепишем уравнение, используя это преобразование: $$(8^x)^2 - 8^x - 56 = 0$$. 3. Введем новую переменную: пусть $$y = 8^x$$. Тогда уравнение примет вид: $$y^2 - y - 56 = 0$$. 4. Решим квадратное уравнение относительно $$y$$. Для этого найдем дискриминант: $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$$. 5. Найдем корни уравнения: $$y_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 15}{2} = \frac{16}{2} = 8$$ $$y_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 15}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$. 6. Вернемся к исходной переменной $$x$$. У нас есть два случая: а) $$8^x = 8$$. Это означает, что $$x = 1$$. б) $$8^x = -7$$. Так как показательная функция всегда положительна, это уравнение не имеет решений. 7. Таким образом, единственное решение исходного уравнения $$x = 1$$. Ответ: $$x = \textbf{1}$$