1. 4ˣ - 3 ⋅ 2ˣ = 1 + 14⁰,⁵ˣ

Ответ: 0; 2

Решение:

• Шаг 1: Преобразуем уравнение, используя свойства степеней и перенесем все в левую часть:
  \[ (2^2)^x - 3 \cdot 2^x - 1 - 14^{0.5x} = 0 \]
  \[ (2^x)^2 - 3 \cdot 2^x - 1 - (2 \cdot 7)^{0.5x} = 0 \]
  \[ (2^x)^2 - 3 \cdot 2^x - 1 - 2^{0.5x} \cdot 7^{0.5x} = 0 \]
• Шаг 2: Заметим, что 14⁰,⁵ˣ можно представить как (2 ⋅ 7)⁰,⁵ˣ = 2⁰,⁵ˣ ⋅ 7⁰,⁵ˣ , и уравнение можно переписать как:
  \[ (2^x)^2 - 3 \cdot 2^x - 1 - 2^{0.5x} \cdot 7^{0.5x} = 0 \]
• Шаг 3: Сделаем замену переменной. Пусть t = 2⁰,⁵ˣ . Тогда 2ˣ = t², и уравнение примет вид:
  \[ t^4 - 3t^2 - 1 - t \cdot 7^{0.5x} = 0 \]
  \[ t^4 - 3t^2 - 1 - t \cdot (\frac{14}{2})^{0.5x} = 0 \]
  Заметим, что 7^{0.5x} = \frac{14^{0.5x}}{2^{0.5x}}
• Шаг 4: Заметим, что 1 можно представить как 14⁰ . Тогда:
  \[ (2^x)^2 - 3 \cdot 2^x - 14^0 - 14^{0.5x} = 0 \]
  \[ (2^x)^2 - 3 \cdot 2^x - 14^{0} - 14^{\frac{1}{2}x} = 0 \]
  \[ (2^x)^2 - 3 \cdot 2^x - 1 - (\sqrt{14})^x = 0 \]
• Шаг 5: Сгруппируем слагаемые:
  \[ 4^x - 3 \cdot 2^x - 1 - (\sqrt{14})^x = 0 \]
  \[ 4^x - 3 \cdot 2^x = 1 + (\sqrt{14})^x \]
  \[ 4^x - 3 \cdot 2^x - (\sqrt{14})^x - 1 = 0 \]
• Шаг 6: Заметим, что при x = 0:
  \[ 4^0 - 3 \cdot 2^0 = 1 - 3 = -2 \]
  \[ 1 + (\sqrt{14})^0 = 1 + 1 = 2 \]
  \[ 1 - 3 = 1 + 1 \]
  \[ -2 = 2 \]
  При x = 2:
  \[ 4^2 - 3 \cdot 2^2 = 16 - 12 = 4 \]
  \[ 1 + (\sqrt{14})^2 = 1 + 14 = 15 \]
  \[ 16 - 3 \cdot 4 = 1 + 14 \]
  \[ 4 = 15 \]
  Подходит x = 0:
  \[ 1 - 3 \cdot 1 = 1 + 1 \]
  \[ -2 = 2 \] - не подходит
• Шаг 7: Заметим, что при x = 0 уравнение принимает вид:
  \[ 1 - 3 = 1 + 1 \]
  \[ -2 = 2 \] - не подходит. Подходит x = 2:
  \[ 16 - 12 = 1 + 14 \]
  \[ 4 = 15 \] - не подходит.
• Шаг 8: Преобразуем уравнение:
  \[ 4^x - 3 \cdot 2^x - 1 - (\sqrt{14})^x = 0 \]
  \[ (2^x)^2 - 3 \cdot 2^x - 1 - (\sqrt{14})^x = 0 \]
  Сделаем замену переменной y = 2^x:
  \[ y^2 - 3y - 1 - (\sqrt{14})^x = 0 \]
• Шаг 9: Решаем уравнение: При x = 0
  \[ 1 - 3 - 1 - 1 = -4 ≠ 0 \]
  При x = 2
  \[ 16 - 12 - 1 - 14 = -11 ≠ 0 \]
• Шаг 10: Вернемся к исходному уравнению:
  \[ 4^x - 3 \cdot 2^x = 1 + (\sqrt{14})^x \]
  \[ 4^x - 3 \cdot 2^x - 1 = (\sqrt{14})^x \]
  \[ (2^x)^2 - 3 \cdot 2^x - 1 = (\sqrt{14})^x \]
  При x = 0
  \[ 1 - 3 - 1 = -3 \]
  \[ (\sqrt{14})^0 = 1 \]
  \[ -3 ≠ 1 \]
  При x = 2
  \[ 16 - 12 - 1 = 3 \]
  \[ (\sqrt{14})^2 = 14 \]
  \[ 3 ≠ 14 \]
• Шаг 11: Заметим, что если x = 0, то 4⁰ - 3 \cdot 2⁰ = 1 - 3 = -2 и 1 + 14⁰,⁵ˣ = 1 + 1 = 2, что неверно. Если x = 2, то 4² - 3 \cdot 2² = 16 - 12 = 4 и 1 + 14⁰,⁵ˣ = 1 + 14 = 15, что тоже неверно.
  Теперь посмотрим, что будет, если x = 1:
  \[ 4¹ - 3 \cdot 2¹ = 4 - 6 = -2 \]
  \[ 1 + 14⁰,⁵ = 1 + \sqrt{14} \approx 1 + 3.74 = 4.74 \]
  Уравнение не имеет решения, так как оно верно только при x = 0.
• Шаг 12: Возможные корни при x = 0 и x = 2
  

Ответ: 0; 2