1. 4 α =\frac{\pi}{4}, x=-2, y = 1. 2. 5 a = arctg (-2), x = 3, y = 2. 3. 3 f(x) = 2x³, x=1. 4. 4 f(x) = e²x, x = 0. 5. 5 f(x) = cos 4x, x = \frac{\pi}{12} 6.4 f(x) = \frac{1}{4}x⁴, x = 1.

Задание 1

Уравнение прямой, проходящей через точку (x₀; y₀) и образующей с осью Ox угол α, имеет вид: \[ y - y_0 = k(x - x_0) \] где k = tg(α) — угловой коэффициент прямой.

В данном случае α = \(\frac{\pi}{4}\), x₀ = -2, y₀ = 1. Тогда tg(\(\frac{\pi}{4}\)) = 1, и уравнение прямой будет: \[ y - 1 = 1(x - (-2)) \] \[ y - 1 = x + 2 \] \[ y = x + 3 \]

Задание 2

В данном случае α = arctg(-2), x₀ = 3, y₀ = 2. Тогда k = tg(α) = -2, и уравнение прямой будет: \[ y - 2 = -2(x - 3) \] \[ y - 2 = -2x + 6 \] \[ y = -2x + 8 \]

Задание 3

Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x₀. Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в данной точке: k = f'(x₀). f(x) = 2x³, x₀ = 1 f'(x) = 6x² f'(1) = 6 \cdot 1² = 6

Задание 4

f(x) = e²ˣ, x₀ = 0 f'(x) = 2e²ˣ f'(0) = 2e²⁰ = 2 \cdot 1 = 2

Задание 5

f(x) = cos 4x, x₀ = \(\frac{\pi}{12}\) f'(x) = -4 sin 4x f'(\(\frac{\pi}{12}\)) = -4 sin (4 \cdot \(\frac{\pi}{12}\)) = -4 sin (\(\frac{\pi}{3}\)) = -4 \cdot \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = -2\(\sqrt{3}\)

Задание 6

Найти угол между касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x₀ и осью Ox. f(x) = \(\frac{1}{4}\)x⁴, x₀ = 1 f'(x) = x³ f'(1) = 1³ = 1 Угол между касательной и осью Ox равен arctg(f'(x₀)). В данном случае arctg(1) = \(\frac{\pi}{4}\) или 45°.