ΓΕΟΜ8-06-02-05 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС медианы пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если ОА=13 см, ОВ=10 см. В ответ запишите только число.

Пусть BD и AE — медианы треугольника ABC, пересекающиеся в точке O. Так как ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC, то BD является высотой.

Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, BO = 10 см, то OD = BO / 2 = 10 / 2 = 5 см. Значит, вся высота BD = BO + OD = 10 + 5 = 15 см.

Аналогично, AO = 13 см, значит, OE = AO / 2 = 13 / 2 = 6.5 см. Тогда вся медиана AE = 13 + 6.5 = 19.5 см.

Так как BD — высота и медиана, то треугольник ABD — прямоугольный. Рассмотрим треугольник AOD, в котором AO = 13 см, OD = 5 см. Применим теорему Пифагора: \(AD = \sqrt{AO^2 - OD^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\) см.

Так как AD = 12 см, то AC = 2 * AD = 2 * 12 = 24 см (медиана делит сторону пополам).

Площадь треугольника ABC равна половине произведения основания на высоту: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 15 = 12 \cdot 15 = 180\) см².

Однако, поскольку медианы пересекаются в точке О, площадь треугольника ABC можно также найти через отношение площадей треугольников, образованных медианами. Известно, что площадь треугольника, образованного медианами, составляет 3/4 площади исходного треугольника. Таким образом, площадь треугольника ABC равна (4/3) * (площадь треугольника, образованного медианами).

Треугольник ABC — равнобедренный, и BD является его высотой. Тогда площадь ABC равна \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 15 = 180\) кв. см.