Γ10 10 11 6 8 6 5 Через середину стороны AD квадрата ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр КЕ длиной а. АВ = 2а. Найдите угол между прямыми: 1) АК и DC; 2) АВ и КС. E A 12 10 3 K C 8

Разберем задачу по геометрии поэтапно.

1) Угол между прямыми АК и DC.

Прямая DC лежит в плоскости квадрата ABCD. Прямая АК находится в пространстве, так как точка K не лежит в плоскости квадрата (KE перпендикулярна плоскости). Необходимо найти угол между прямой АК и её проекцией на плоскость квадрата.

Так как DC || AB, то угол между прямыми АК и DC равен углу между прямыми АК и АВ.

Рассмотрим треугольник AKE: KE перпендикулярна плоскости квадрата, значит, KE перпендикулярна AE. AE = a, KE = a. Следовательно, треугольник AKE равнобедренный и прямоугольный, и угол между KA и AE равен 45°.

Угол между прямыми АК и DC равен 45°.

2) Угол между прямыми АВ и КС.

Рассмотрим треугольник KEC: KE перпендикулярна плоскости квадрата, значит, KE перпендикулярна EC. Найдем EC, используя теорему Пифагора для треугольника AЕD: ED = AD/2 = a. Тогда EC = \(\sqrt{ED^2 + DC^2}\) = \(\sqrt{a^2 + (2a)^2}\) = \(\sqrt{5a^2}\) = a\(\sqrt{5}\).

Рассмотрим треугольник KEC: KE = a, EC = a\(\sqrt{5}\). Тогда KC = \(\sqrt{KE^2 + EC^2}\) = \(\sqrt{a^2 + (a\sqrt{5})^2}\) = \(\sqrt{a^2 + 5a^2}\) = \(\sqrt{6a^2}\) = a\(\sqrt{6}\).

Теперь рассмотрим треугольник ABC: АВ = 2а, ВС = 2а, значит, АС = \(\sqrt{AB^2 + BC^2}\) = \(\sqrt{(2a)^2 + (2a)^2}\) = \(\sqrt{8a^2}\) = 2a\(\sqrt{2}\).

Далее, рассмотрим треугольник KAC: KA = a\(\sqrt{2}\) (так как AKE - равнобедренный прямоугольный треугольник, KE = a, AE = a), AC = 2a\(\sqrt{2}\), KC = a\(\sqrt{6}\).

Зная три стороны треугольника KAC, найдем угол между прямыми АВ и КС, используя теорему косинусов: cos(∠KAC) = \(\frac{KA^2 + AC^2 - KC^2}{2 \cdot KA \cdot AC}\) = \(\frac{(a\sqrt{2})^2 + (2a\sqrt{2})^2 - (a\sqrt{6})^2}{2 \cdot a\sqrt{2} \cdot 2a\sqrt{2}}\) = \(\frac{2a^2 + 8a^2 - 6a^2}{8a^2}\) = \(\frac{4a^2}{8a^2}\) = \(\frac{1}{2}\). Значит, угол ∠KAC = 60°.

Ответ: 1) 45°; 2) 60°