Ο 1406. a) 32x - 4.3*+ 3 < 0; 6) 52x+4.5-5≥0;0 в) 0,22х -1,2-0,2* +0,2 > 0; 2x г) +6. -7<0.

a) \( 3^{2x} - 4 \cdot 3^x + 3 \le 0 \)

Пусть \( t = 3^x \), тогда неравенство примет вид:

\[ t^2 - 4t + 3 \le 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения \( t^2 - 4t + 3 = 0 \):

\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]

\[ t_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \]

\[ t_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1 \]

Тогда неравенство можно переписать как:

\[ (t - 3)(t - 1) \le 0 \]

Решением этого неравенства является промежуток \( t \in [1; 3] \).

Вернемся к замене: \( 1 \le 3^x \le 3 \)

Тогда \( 3^0 \le 3^x \le 3^1 \), откуда следует, что \( 0 \le x \le 1 \).

б) \( 5^{2x} + 4 \cdot 5^x - 5 \ge 0 \)

Пусть \( t = 5^x \), тогда неравенство примет вид:

\[ t^2 + 4t - 5 \ge 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения \( t^2 + 4t - 5 = 0 \):

\[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \]

\[ t_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \]

\[ t_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 - 6}{2} = -5 \]

Тогда неравенство можно переписать как:

\[ (t - 1)(t + 5) \ge 0 \]

Решением этого неравенства является объединение промежутков \( t \in (-\infty; -5] \cup [1; +\infty) \).

Вернемся к замене: \( 5^x \le -5 \) или \( 5^x \ge 1 \)

Так как \( 5^x > 0 \) для любого \( x \), то неравенство \( 5^x \le -5 \) не имеет решений.

Тогда \( 5^x \ge 1 \), то есть \( 5^x \ge 5^0 \), откуда следует, что \( x \ge 0 \).

в) \( 0.2^{2x} - 1.2 \cdot 0.2^x + 0.2 > 0 \)

Пусть \( t = 0.2^x \), тогда неравенство примет вид:

\[ t^2 - 1.2t + 0.2 > 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения \( t^2 - 1.2t + 0.2 = 0 \):

\[ D = (-1.2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0.2 = 1.44 - 0.8 = 0.64 \]

\[ t_1 = \frac{1.2 + \sqrt{0.64}}{2} = \frac{1.2 + 0.8}{2} = 1 \]

\[ t_2 = \frac{1.2 - \sqrt{0.64}}{2} = \frac{1.2 - 0.8}{2} = 0.2 \]

Тогда неравенство можно переписать как:

\[ (t - 1)(t - 0.2) > 0 \]

Решением этого неравенства является объединение промежутков \( t \in (-\infty; 0.2) \cup (1; +\infty) \).

Вернемся к замене: \( 0.2^x < 0.2 \) или \( 0.2^x > 1 \)

Тогда \( 0.2^x < 0.2^1 \), откуда следует, что \( x > 1 \) (так как основание меньше 1, знак неравенства меняется).

И \( 0.2^x > 0.2^0 \), откуда следует, что \( x < 0 \) (так как основание меньше 1, знак неравенства меняется).

г) \( \left(\frac{1}{7}\right)^{2x} + 6 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^x - 7 < 0 \)

Пусть \( t = \left(\frac{1}{7}\right)^x \), тогда неравенство примет вид:

\[ t^2 + 6t - 7 < 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения \( t^2 + 6t - 7 = 0 \):

\[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 \]

\[ t_1 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 + 8}{2} = 1 \]

\[ t_2 = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 - 8}{2} = -7 \]

Тогда неравенство можно переписать как:

\[ (t - 1)(t + 7) < 0 \]

Решением этого неравенства является промежуток \( t \in (-7; 1) \).

Вернемся к замене: \( -7 < \left(\frac{1}{7}\right)^x < 1 \)

Так как \( \left(\frac{1}{7}\right)^x > 0 \) для любого \( x \), то неравенство \( \left(\frac{1}{7}\right)^x > -7 \) выполняется всегда.

Тогда \( \left(\frac{1}{7}\right)^x < 1 \), то есть \( \left(\frac{1}{7}\right)^x < \left(\frac{1}{7}\right)^0 \), откуда следует, что \( x > 0 \) (так как основание меньше 1, знак неравенства меняется).

Ответы:

а) \( 0 \le x \le 1 \)

б) \( x \ge 0 \)

в) \( x < 0 \) или \( x > 1 \)

г) \( x > 0 \)