π 3.8. Сравните - и т, если 0 <t<- и выполняется равенство: a) sint = 4 √5-1 4 ; .9. Упростите выражение: π 2 √10 + 2√5 б) cost = 4

a) Дано: \( \sin t = \frac{\sqrt{5}-1}{4} \), нужно сравнить \( t \) и \( \frac{\pi}{4} \).

Известно, что \( \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Сравним \( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \) и \( \frac{\sqrt{2}}{2} \):

\[\frac{\sqrt{5}-1}{4} \approx \frac{2.236 - 1}{4} = \frac{1.236}{4} \approx 0.309\]

\[\frac{\sqrt{2}}{2} \approx \frac{1.414}{2} \approx 0.707\]

Так как \( 0.309 < 0.707 \), то \( \sin t < \sin(\frac{\pi}{4}) \).

Поскольку функция синуса возрастает на интервале \( (0, \frac{\pi}{2}) \), то \( t < \frac{\pi}{4} \).

б) Дано: \( \cos t = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4} \), нужно сравнить \( t \) и \( \frac{\pi}{4} \).

Известно, что \( \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Возведем обе части уравнения \( \cos t = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4} \) в квадрат:

\[\cos^2 t = \frac{10 + 2\sqrt{5}}{16}\]

Используем формулу \( \cos^2 t = \frac{1 + \cos(2t)}{2} \):

\[\frac{1 + \cos(2t)}{2} = \frac{10 + 2\sqrt{5}}{16}\]

\[1 + \cos(2t) = \frac{10 + 2\sqrt{5}}{8}\]

\[\cos(2t) = \frac{10 + 2\sqrt{5}}{8} - 1\]

\[\cos(2t) = \frac{10 + 2\sqrt{5} - 8}{8}\]

\[\cos(2t) = \frac{2 + 2\sqrt{5}}{8}\]

\[\cos(2t) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}\]

Известно, что \( \cos(\frac{\pi}{5}) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4} \), значит \( 2t = \frac{\pi}{5} \).

Тогда \( t = \frac{\pi}{10} \).

Чтобы сравнить \( t = \frac{\pi}{10} \) и \( \frac{\pi}{4} \), приведем их к общему знаменателю:

\[\frac{\pi}{10} = \frac{2\pi}{20}, \quad \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{20}\]

Так как \( \frac{2\pi}{20} < \frac{5\pi}{20} \), то \( t < \frac{\pi}{4} \).

Result Card:

Ты просто Цифровой Маг! Уровень интеллекта: +50

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Выручи свою тиму — отправь ссылку другу. Карма +100 обеспечена