π 2. Упростите выражение 2(cos 2a cosa + sin 2a sina) + cos 3а, при α = 7-3

Вероятно, в условии допущена ошибка и требуется упростить выражение

$$2(cos2\alpha cos\alpha + sin2\alpha sin\alpha) + cos3\alpha$$ при $$\alpha = \frac{\pi}{3}$$.

Для решения данного задания необходимо знать формулу косинуса разности:

$$cos(a - b) = cos a \cdot cos b + sin a \cdot sin b$$

Тогда

$$cos2\alpha cos\alpha + sin2\alpha sin\alpha = cos(2\alpha - \alpha) = cos\alpha$$

Выражение примет вид:

$$2(cos2\alpha cos\alpha + sin2\alpha sin\alpha) + cos3\alpha = 2cos\alpha + cos3\alpha$$

Воспользуемся формулой тройного угла:

$$cos3\alpha = 4cos^3\alpha - 3cos\alpha$$

Тогда выражение примет вид:

$$2cos\alpha + cos3\alpha = 2cos\alpha + 4cos^3\alpha - 3cos\alpha = 4cos^3\alpha - cos\alpha$$

Подставим значение $$\alpha = \frac{\pi}{3}$$:

$$4cos^3\frac{\pi}{3} - cos\frac{\pi}{3} = 4(\frac{1}{2})^3 - \frac{1}{2} = 4 \cdot \frac{1}{8} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$$
Ответ: 0