6.86. Өрнектердің мәнін табыңдар. 1) \frac{ax}{a + x} - \frac{bx}{b - x}, мұндағы x = \frac{ab}{a-b} 2) \frac{x^2y^2}{x^2-y^2}, мұндағы x = \frac{2ab}{a^2-b^2}; y = \frac{2ab}{a^2 + b^2} 6.87. Егер а + \frac{1}{a} бүтін сан болса, онда а² + \frac{1}{a²} және а³+ \frac{1}{a³} де бүтін сан-дар болатынын көрсетіңдер. 6.88. x⁸-16 көпмүшесін 2-дәрежелі көпмүшелердің көбейтіндісіне жік-теңдер. 6.89. Теңдеулерді шешіңдер. 1) 2x - \frac{x-2}{2} = \frac{x}{3} - 6 2) 0,69 = \frac{5-2y}{8}⋅ 1,38 3) \frac{1-y}{7} + y = \frac{y}{2} + 3 4) 0,5⋅ \frac{4+2x}{13} = x - 10

6.86

1)

Есептейміз: \(\frac{ax}{a + x} - \frac{bx}{b - x}\), мұндағы \(x = \frac{ab}{a-b}\)

Онда:

\[\frac{a\cdot \frac{ab}{a-b}}{a + \frac{ab}{a-b}} - \frac{b \cdot \frac{ab}{a-b}}{b - \frac{ab}{a-b}} = \frac{\frac{a^2b}{a-b}}{\frac{a^2-ab+ab}{a-b}} - \frac{\frac{ab^2}{a-b}}{\frac{b^2-ab-ab}{a-b}} = \frac{a^2b}{a^2} - \frac{ab^2}{b^2} = b - a\]

Жауабы: b - a

2)

Есептейміз: \(\frac{x^2y^2}{x^2-y^2}\), мұндағы \(x = \frac{2ab}{a^2-b^2}; y = \frac{2ab}{a^2 + b^2}\)

Онда:

\[\frac{(\frac{2ab}{a^2-b^2})^2 \cdot (\frac{2ab}{a^2+b^2})^2}{(\frac{2ab}{a^2-b^2})^2 - (\frac{2ab}{a^2 + b^2})^2} = \frac{\frac{16 a^4 b^4}{(a^2-b^2)^2(a^2+b^2)^2}}{\frac{4a^2b^2}{(a^2-b^2)^2} - \frac{4a^2b^2}{(a^2+b^2)^2}} = \frac{\frac{16 a^4 b^4}{(a^2-b^2)^2(a^2+b^2)^2}}{\frac{4a^2b^2(a^2+b^2)^2 - 4a^2b^2(a^2-b^2)^2}{(a^2-b^2)^2(a^2+b^2)^2}} = \frac{16 a^4 b^4}{4a^2b^2(a^4+2a^2b^2+b^4 - (a^4-2a^2b^2+b^4))} = \frac{4 a^2 b^2}{4a^2b^2+4a^2b^2} = \frac{4 a^2 b^2}{8 a^2 b^2} = \frac{1}{2}\]

Жауабы: \(\frac{1}{2}\)

6.87

Егер \(a + \frac{1}{a}\) бүтін сан болса, онда \(a^2 + \frac{1}{a^2}\) және \(a^3 + \frac{1}{a^3}\) де бүтін сан болатынын көрсетейік.

Айталық, \(a + \frac{1}{a} = k\), мұндағы k - бүтін сан.

Енді \(a^2 + \frac{1}{a^2}\)-ді қарастырайық:

\[(a + \frac{1}{a})^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}\]

Онда:

\[a^2 + \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})^2 - 2 = k^2 - 2\]

k - бүтін сан болғандықтан, \(k^2 - 2\) де бүтін сан болады.

Енді \(a^3 + \frac{1}{a^3}\)-ді қарастырайық:

\[(a + \frac{1}{a})^3 = a^3 + 3a^2\frac{1}{a} + 3a\frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^3} = a^3 + 3a + \frac{3}{a} + \frac{1}{a^3} = a^3 + \frac{1}{a^3} + 3(a + \frac{1}{a})\]

Онда:

\[a^3 + \frac{1}{a^3} = (a + \frac{1}{a})^3 - 3(a + \frac{1}{a}) = k^3 - 3k\]

k - бүтін сан болғандықтан, \(k^3 - 3k\) де бүтін сан болады.

Демек, егер \(a + \frac{1}{a}\) бүтін сан болса, онда \(a^2 + \frac{1}{a^2}\) және \(a^3 + \frac{1}{a^3}\) де бүтін сан болады.

6.88

\(x^8 - 16\) көпмүшесін 2-дәрежелі көпмүшелердің көбейтіндісіне жіктейік.

\[x^8 - 16 = (x^4)^2 - 4^2 = (x^4 - 4)(x^4 + 4)\]

Енді әр көбейткішті қарастырайық.

\[x^4 - 4 = (x^2)^2 - 2^2 = (x^2 - 2)(x^2 + 2)\]

Сонымен, \(x^4 - 4 = (x^2 - 2)(x^2 + 2)\)

\[x^4 + 4 = x^4 + 4 + 4x^2 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 = (x^2 + 2 - 2x)(x^2 + 2 + 2x) = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)\]

Осылайша, \(x^4 + 4 = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)\)

Енді бәрін біріктірейік:

\[x^8 - 16 = (x^2 - 2)(x^2 + 2)(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)\]

Осылайша, \(x^8 - 16\) көпмүшесі 2-дәрежелі көпмүшелердің көбейтіндісіне жіктелді.

6.89

1)

Теңдеуді шешейік: \(2x - \frac{x-2}{2} = \frac{x}{3} - 6\)

Жалпы бөлімге келтірейік:

\[\frac{12x}{6} - \frac{3(x-2)}{6} = \frac{2x}{6} - \frac{36}{6}\]

Бөлімнен арылайық:

\[12x - 3(x-2) = 2x - 36\] \[12x - 3x + 6 = 2x - 36\] \[9x + 6 = 2x - 36\] \[7x = -42\] \[x = -6\]

Жауабы: \(x = -6\)

2)

Теңдеуді шешейік: \(0,69 = \frac{5-2y}{8} \cdot 1,38\)

\[0,69 = \frac{5-2y}{8} \cdot 1,38\] \[\frac{0,69}{1,38} = \frac{5-2y}{8}\] \[\frac{1}{2} = \frac{5-2y}{8}\] \[4 = 5 - 2y\] \[2y = 1\] \[y = \frac{1}{2} = 0,5\]

Жауабы: \(y = 0,5\)

3)

Теңдеуді шешейік: \(\frac{1-y}{7} + y = \frac{y}{2} + 3\)

Жалпы бөлімге келтірейік:

\[\frac{2(1-y)}{14} + \frac{14y}{14} = \frac{7y}{14} + \frac{42}{14}\]

Бөлімнен арылайық:

\[2(1-y) + 14y = 7y + 42\] \[2 - 2y + 14y = 7y + 42\] \[12y + 2 = 7y + 42\] \[5y = 40\] \[y = 8\]

Жауабы: \(y = 8\)

4)

Теңдеуді шешейік: \(0,5 \cdot \frac{4+2x}{13} = x - 10\)

\[\frac{0,5(4+2x)}{13} = x - 10\] \[0,5(4+2x) = 13(x - 10)\] \[2 + x = 13x - 130\] \[12x = 132\] \[x = 11\]

Жауабы: \(x = 11\)