Өрнектің мәнін табыңыз: $$arcctg \left(ctg \frac{7\pi}{10}\right)$$

Для решения данного задания необходимо вспомнить формулу приведения $$ctg(\pi - x) = -ctg(x)$$ и область значений функции $$arcctg(x)$$.

1) Преобразуем аргумент арккотангенса:

$$ctg \frac{7\pi}{10} = ctg\left(\pi - \frac{3\pi}{10}\right) = -ctg \frac{3\pi}{10}$$

2) Тогда выражение примет вид:

$$arcctg \left(ctg \frac{7\pi}{10}\right) = arcctg \left(-ctg \frac{3\pi}{10}\right)$$

3) Вспомним, что $$arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$$, следовательно:

$$arcctg \left(-ctg \frac{3\pi}{10}\right) = \pi - arcctg \left(ctg \frac{3\pi}{10}\right)$$

4) Далее используем формулу $$ctg(x) = \frac{\pi}{2} - tg(x)$$, тогда:

$$\pi - arcctg \left(ctg \frac{3\pi}{10}\right) = \pi - arcctg \left(tg \left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{10}\right)\right) = \pi - arcctg \left(tg \frac{2\pi}{10}\right) = \pi - arcctg \left(tg \frac{\pi}{5}\right)$$

5) Вспоминаем, что $$tg(x) = ctg(\frac{\pi}{2} - x)$$, следовательно:

$$\pi - arcctg \left(tg \frac{\pi}{5}\right) = \pi - arcctg \left(ctg\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}\right)\right) = \pi - arcctg \left(ctg \frac{3\pi}{10}\right)$$

6) Учитывая, что область значений функции $$arcctg(x)$$ находится в пределах $$(0; \pi)$$, можно утверждать, что $$arcctg \left(ctg(x)\right) = x$$ для $$x \in (0; \pi)$$, следовательно:

$$\pi - arcctg \left(ctg \frac{3\pi}{10}\right) = \pi - \frac{3\pi}{10} = \frac{10\pi - 3\pi}{10} = \frac{7\pi}{10}$$

Ответ: D) $$\frac{7\pi}{10}$$