Өрнектің мәнін табыңыз: cos(\frac{\pi}{3} + arcsin\frac{3}{5})

Для решения данного задания необходимо вспомнить формулу косинуса суммы двух углов:

$$cos(\alpha + \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta - sin\alpha \cdot sin\beta$$

В нашем случае:

$$\alpha = \frac{\pi}{3}, \beta = arcsin\frac{3}{5}$$

Тогда:

$$cos(\frac{\pi}{3} + arcsin\frac{3}{5}) = cos(\frac{\pi}{3}) \cdot cos(arcsin\frac{3}{5}) - sin(\frac{\pi}{3}) \cdot sin(arcsin\frac{3}{5})$$

Известно, что $$cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$$ и $$sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$. Также известно, что $$sin(arcsin x) = x$$, значит $$sin(arcsin\frac{3}{5}) = \frac{3}{5}$$.

Осталось найти $$cos(arcsin\frac{3}{5})$$. Пусть $$arcsin\frac{3}{5} = y$$, тогда $$sin y = \frac{3}{5}$$. Основное тригонометрическое тождество:

$$sin^2 y + cos^2 y = 1$$

$$cos^2 y = 1 - sin^2 y$$

$$cos y = \sqrt{1 - sin^2 y}$$

$$cos(arcsin\frac{3}{5}) = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$

Теперь подставим все значения в формулу:

$$cos(\frac{\pi}{3} + arcsin\frac{3}{5}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4}{10} - \frac{3\sqrt{3}}{10} = \frac{2}{5} - \frac{3\sqrt{3}}{10}$$

Ответ: C) $$\frac{2}{5} - \frac{3\sqrt{3}}{10}$$