२ Упростите выражение ab(a + b) (a² + b²)(3a - b). Докажите тождество b(b - 3) - 28 = (b + 4)(b – 7). Длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины. Если плину увеличить на 6 дм, а ширину на 2 дм, то площади увеличится на 48 дм². Найдите длину и ширину прямо ьника.

Упростим выражение: ab(a + b) - (a² + b²)(3a - b) = a²b + ab² - (3a³ - a²b + 3ab² - b³) = a²b + ab² - 3a³ + a²b - 3ab² + b³ = -3a³ + 2a²b - 2ab² + b³

Докажем тождество:

b(b - 3) - 28 = (b + 4)(b - 7)

b² - 3b - 28 = b² - 7b + 4b - 28

b² - 3b - 28 = b² - 3b - 28

Тождество доказано.

Пусть ширина прямоугольника будет x дм, тогда длина будет 3x дм.

Площадь исходного прямоугольника: 3x² дм².

После увеличения сторон, ширина станет x + 2 дм, а длина 3x + 6 дм.

Площадь нового прямоугольника: (x + 2)(3x + 6) дм².

По условию, площадь увеличится на 48 дм², поэтому:

(x + 2)(3x + 6) - 3x² = 48

3x² + 6x + 6x + 12 - 3x² = 48

12x + 12 = 48

12x = 36

x = 3

Длина исходного прямоугольника: 3 * 3 = 9 дм

Ширина исходного прямоугольника: 3 дм

После увеличения, длина прямоугольника станет: 9 + 6 = 15 дм

Ширина прямоугольника станет: 3 + 2 = 5 дм