• 1. Докажите неравенство: a) (x-3)2>x(x-6); б) у²+1>2(5у-12). • 2. Известно, что х<у. Сравните: а) 8х и 8у; б) 1,4х и 1,4у; в) 5,6у и 5,6х. Результат сравнения запишите в виде неравенства. 3. Известно, что 3,6 <√13<3,7. Оцените: a) 3/13; 6)-2/13. 4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами х см и у см, если известно, что 1,1 <х<1,2, 1,5<y<1,6. 5. Даны три последовательных натуральных числа. Сравните квадрат среднего из них с произведением двух других. a) • 1. Решите неравенство: x>1; 6) 1-6x≥0; в) 5 (у-1,4)-6<4y-1,5. 2. При каких т значение дроби m+1 меньше соот- 3 ветствующего значения выражения т-6? • 3. Решите систему неравенств: a) 3x-9<0, 5x+2>0; 6) 15-x<14, 4-2x<5. 4. Найдите целые решения системы неравенств 5(1-2x)<2x-4, 2,5+x. 5. При каких значениях а имеет смысл выражение V12-3a+Va+2?

1. Докажите неравенство:

a) (x-3)² > x(x-6)

Раскрываем скобки и упрощаем:

• x² - 6x + 9 > x² - 6x
• 9 > 0

Так как 9 > 0, неравенство верно.

б) y² + 1 > 2(5y - 12)

Раскрываем скобки и упрощаем:

• y² + 1 > 10y - 24
• y² - 10y + 25 > 0
• (y - 5)² > 0

Так как (y - 5)² > 0 при y ≠ 5, неравенство верно для всех y, кроме y = 5.

2. Известно, что x < y. Сравните:

a) 8x и 8y

Так как x < y, то 8x < 8y.

б) -1.4x и -1.4y

Так как x < y, то -1.4x > -1.4y (при умножении на отрицательное число знак меняется).

в) -5.6y и -5.6x

Так как x < y, то -5.6y < -5.6x (при умножении на отрицательное число знак меняется).

3. Известно, что 3.6 < √13 < 3.7. Оцените:

a) 3√13

Умножаем все части неравенства на 3:

• 3 * 3.6 < 3√13 < 3 * 3.7
• 10.8 < 3√13 < 11.1

б) -2√13

Умножаем все части неравенства на -2 (знаки меняются):

• -2 * 3.7 < -2√13 < -2 * 3.6
• -7.4 < -2√13 < -7.2

4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами x см и y см, если известно, что 1.1 < x < 1.2, 1.5 < y < 1.6.

Периметр P = 2(x + y), площадь S = x * y.

Оценка периметра:

• 2 * (1.1 + 1.5) < P < 2 * (1.2 + 1.6)
• 2 * 2.6 < P < 2 * 2.8
• 5.2 < P < 5.6

Оценка площади:

• 1.1 * 1.5 < S < 1.2 * 1.6
• 1.65 < S < 1.92

5. Даны три последовательных натуральных числа. Сравните квадрат среднего из них с произведением двух других.

Пусть числа: n - 1, n, n + 1. Квадрат среднего: n². Произведение двух других: (n - 1)(n + 1) = n² - 1.

Сравнение: n² > n² - 1, следовательно, квадрат среднего числа больше произведения двух других.

1. Решите неравенство:

a) x/4 > 1

Умножаем обе части на 4: x > 4.

б) 1 - 6x ≥ 0

• 6x ≤ 1
• x ≤ 1/6

в) 5(y - 1.4) - 6 < 4y - 1.5

• 5y - 7 - 6 < 4y - 1.5
• 5y - 13 < 4y - 1.5
• y < 11.5

2. При каких m значение дроби (m+1)/3 меньше соответствующего значения выражения m - 6?

Решаем неравенство:

• (m + 1) / 3 < m - 6
• m + 1 < 3m - 18
• 2m > 19
• m > 9.5

3. Решите систему неравенств:

a)

• 3x - 9 < 0
• 5x + 2 > 0

• x < 3
• x > -2/5

Решение: -2/5 < x < 3

б)

• 15 - x < 14
• 4 - 2x < 5

• x > 1
• -2x < 1
• x > -1/2

Решение: x > 1

4. Найдите целые решения системы неравенств

• 5(1 - 2x) < 2x - 4
• 2.5 + x/2 > x

• 5 - 10x < 2x - 4
• 9 < 12x
• x > 3/4

• 2. 5 > x - x/2
• 2. 5 > x/2
• x < 5

Целые решения: 1, 2, 3, 4

5. При каких значениях a имеет смысл выражение √[12-3a] + √[a+2]?

Выражение имеет смысл, если:

• 12 - 3a ≥ 0
• a + 2 ≥ 0

• 3a ≤ 12
• a ≥ -2

• a ≤ 4
• a ≥ -2

Решение: -2 ≤ a ≤ 4