• 3. Отрезки АВ и СД лежат на параллельных прямых, а отрезки АД и ВС пересекаются в точке О. Найдите ОА, если АВ=33, СД-11, АД=24. 4. Прямая, параллельная стороне КМ треугольника KLM, пересекает стороны KL и LM в точках Х и У соответственно. Найдите ҮМ, если XY=15, KM-25, LY=12.

3. Рассмотрим подобные треугольники \(\triangle AOB\) и \(\triangle COD\). Поскольку AB и CD параллельны, углы \(\angle OAB\) и \(\angle OCD\) равны как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC. Аналогично, углы \(\angle OBA\) и \(\angle ODC\) равны как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD. Следовательно, \(\triangle AOB \sim \triangle COD\) по двум углам. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: $$\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD}$$ Известно, что AB = 33 и CD = 11, следовательно: $$\frac{OA}{OC} = \frac{33}{11} = 3$$ Тогда OA = 3 * OC Обозначим OC = x, тогда OA = 3x Рассмотрим отрезки AD и BC, пересекающиеся в точке O. Известно, что AD = 24, а AO = AD - OD. Получаем: OA = AO - DO или 3x = 24 - x Решим уравнение: $$3x = 24 - x$$ $$3x + x = 24$$ $$4x = 24$$ $$x = \frac{24}{4}$$ $$x = 6$$ Следовательно, OC = 6. Тогда OA = 3 * 6 = 18. Ответ: 18 4. Рассмотрим \(\triangle KLM\). Прямая XY параллельна KM. Следовательно, \(\triangle XLY \sim \triangle KLM\) по двум углам. (Угол L - общий, углы \(\angle LXY\) и \(\angle LKM\) равны как соответственные при параллельных прямых XY и KM и секущей KL). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: $$\frac{LY}{LM} = \frac{XY}{KM}$$ Подставим известные значения: XY = 15, KM = 25, LY = 12. $$\frac{12}{LM} = \frac{15}{25}$$ Выразим LM: $$LM = \frac{12 \cdot 25}{15}$$ $$LM = \frac{12 \cdot 5}{3}$$ $$LM = 4 \cdot 5 = 20$$ Известно, что LM = LY + YM. Следовательно, YM = LM - LY. Подставим значения: LY = 12, LM = 20. $$YM = 20 - 12 = 8$$ Ответ: 8