• 1. Решите неравенство: a) x<2; 8 б) 2-5x<0; в) 3(х-1,5)-4<4x+1,5. 2. При каких а значение выражения а + 6 меньше соответствующего значения дроби а+2? 4 • 3. Решите систему неравенств: a) [6x-12>0, 2x-3>0; б) [26-x<25, 2x+7<13. 2 4. Найдите целые решения системы неравенств [1-5x<4(1-x), 3,5+>2x. 5. При каких значениях т имеет смысл выражение V15-5m+4+m? 6. При каких значениях в множеством решений не- равенства 6x+11> является числовой промежуток (1; +∞)?

1. Решите неравенство:

а) \(\frac{x}{8} < 2\)

Умножаем обе части неравенства на 8:

\(x < 16\)

Ответ: \(x < 16\)

б) \(2 - 5x < 0\)

Переносим 2 в правую часть:

\(-5x < -2\)

Делим обе части на -5 (меняем знак неравенства):

\(x > \frac{2}{5}\)

Ответ: \(x > 0.4\)

в) \(3(x - 1.5) - 4 < 4x + 1.5\)

Раскрываем скобки:

\(3x - 4.5 - 4 < 4x + 1.5\)

Переносим подобные члены:

\(3x - 4x < 1.5 + 4.5 + 4\)

\(-x < 10\)

Умножаем на -1 (меняем знак неравенства):

\(x > -10\)

Ответ: \(x > -10\)

2. При каких \(a\) значение выражения \(a + 6\) меньше соответствующего значения дроби \(\frac{a+2}{4}\)?

Запишем неравенство:

\(a + 6 < \frac{a+2}{4}\)

Умножаем обе части на 4:

\(4(a + 6) < a + 2\)

Раскрываем скобки:

\(4a + 24 < a + 2\)

Переносим подобные члены:

\(4a - a < 2 - 24\)

\(3a < -22\)

Делим на 3:

\(a < -\frac{22}{3}\)

Ответ: \(a < -\frac{22}{3}\) или \(a < -7\frac{1}{3}\)

3. Решите систему неравенств:

a)

\(\begin{cases} 6x - 12 > 0 \\ 2x - 3 > 0 \end{cases}\)

Решаем первое неравенство:

\(6x > 12\)

\(x > 2\)

Решаем второе неравенство:

\(2x > 3\)

\(x > \frac{3}{2}\)

\(x > 1.5\)

Оба неравенства должны выполняться одновременно, поэтому выбираем большее значение:

Ответ: \(x > 2\)

б)

\(\begin{cases} 26 - x < 25 \\ 2x + 7 < 13 \end{cases}\)

Решаем первое неравенство:

\(-x < 25 - 26\)

\(-x < -1\)

\(x > 1\)

Решаем второе неравенство:

\(2x < 13 - 7\)

\(2x < 6\)

\(x < 3\)

Оба неравенства должны выполняться одновременно:

Ответ: \(1 < x < 3\)

4. Найдите целые решения системы неравенств

\(\begin{cases} 1 - 5x < 4(1 - x) \\ 3.5 + \frac{x}{4} > 2x \end{cases}\)

Решаем первое неравенство:

\(1 - 5x < 4 - 4x\)

\(-5x + 4x < 4 - 1\)

\(-x < 3\)

\(x > -3\)

Решаем второе неравенство:

\(3.5 + \frac{x}{4} > 2x\)

Умножаем обе части на 4:

\(14 + x > 8x\)

\(14 > 7x\)

\(x < 2\)

Оба неравенства должны выполняться одновременно: \(-3 < x < 2\). Целые решения: -2, -1, 0, 1.

Ответ: \(x = -2, -1, 0, 1\)

5. При каких значениях \(m\) имеет смысл выражение \(\sqrt{15 - 5m} + \sqrt[4]{4 + m}\)?

Выражение имеет смысл, когда оба подкоренных выражения неотрицательны:

\(\begin{cases} 15 - 5m \geq 0 \\ 4 + m \geq 0 \end{cases}\)

Решаем первое неравенство:

\(-5m \geq -15\)

\(m \leq 3\)

Решаем второе неравенство:

\(m \geq -4\)

Ответ: \(-4 \leq m \leq 3\)

6. При каких значениях \(b\) множеством решений неравенства \(6x + 11 > \frac{b}{4}\) является числовой промежуток \((1; +\infty)\)?

Преобразуем неравенство:

\(6x + 11 > \frac{b}{4}\)

\(6x > \frac{b}{4} - 11\)

\(x > \frac{b}{24} - \frac{11}{6}\)

Из условия следует, что \(x > 1\), поэтому:

\(1 = \frac{b}{24} - \frac{11}{6}\)

\(1 + \frac{11}{6} = \frac{b}{24}\)

\(\frac{17}{6} = \frac{b}{24}\)

\(b = \frac{17 \cdot 24}{6}\)

\(b = 17 \cdot 4\)

\(b = 68\)

Ответ: \(b = 68\)