• 1. Решите уравнение: a) 5x+14 x²-4 = x² x²-4 ; б) 8 x-3 - 10 x =2. 2. Катер прошел 15 км против течения и 6 км по те- чению, затратив на весь путь столько же времени, сколь- ко ему потребовалось бы, если бы он шел 22 км по озе- Ру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч?

Решение задания №1

Давай решим уравнения по порядку!

а) Решим уравнение:

\[\frac{5x+14}{x^2-4} = \frac{x^2}{x^2-4}\]

Умножим обе части уравнения на \(x^2 - 4\) (при условии, что \(x^2 - 4
e 0\), то есть \(x
e \pm 2\)):

\[5x + 14 = x^2\]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[x^2 - 5x - 14 = 0\]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81\]

Найдем корни:

\[x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7\] \[x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2\]

Проверим корни на соответствие условию \(x
e \pm 2\). \(x = -2\) не подходит, так как при этом знаменатель обращается в нуль. Следовательно, корень только один: \(x = 7\).

Ответ: x = 7

б) Решим уравнение:

\[\frac{8}{x-3} - \frac{10}{x} = 2\]

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[\frac{8x - 10(x-3)}{x(x-3)} = 2\] \[\frac{8x - 10x + 30}{x^2 - 3x} = 2\] \[\frac{-2x + 30}{x^2 - 3x} = 2\]

Умножим обе части уравнения на \(x^2 - 3x\) (при условии, что \(x
e 0\) и \(x
e 3\)):

\[-2x + 30 = 2(x^2 - 3x)\] \[-2x + 30 = 2x^2 - 6x\]

Перенесем все в одну сторону:

\[2x^2 - 4x - 30 = 0\]

Разделим обе части на 2:

\[x^2 - 2x - 15 = 0\]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64\]

Найдем корни:

\[x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5\] \[x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3\]

Проверим корни на соответствие условию \(x
e 0\) и \(x
e 3\). Оба корня подходят.

Ответ: x = 5 и x = -3

Решение задания №2

Пусть \(v\) - собственная скорость катера (км/ч).

Тогда скорость против течения равна \(v - 2\) км/ч, а скорость по течению равна \(v + 2\) км/ч.

Время, затраченное на путь против течения, равно \(\frac{15}{v-2}\) ч.

Время, затраченное на путь по течению, равно \(\frac{6}{v+2}\) ч.

Время, затраченное на путь по озеру, равно \(\frac{22}{v}\) ч.

По условию задачи, время, затраченное на путь против течения и по течению, равно времени, затраченному на путь по озеру, то есть:

\[\frac{15}{v-2} + \frac{6}{v+2} = \frac{22}{v}\]

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[\frac{15(v+2) + 6(v-2)}{(v-2)(v+2)} = \frac{22}{v}\] \[\frac{15v + 30 + 6v - 12}{v^2 - 4} = \frac{22}{v}\] \[\frac{21v + 18}{v^2 - 4} = \frac{22}{v}\]

Умножим крест-накрест:

\[(21v + 18)v = 22(v^2 - 4)\] \[21v^2 + 18v = 22v^2 - 88\]

Перенесем все в одну сторону:

\[v^2 - 18v - 88 = 0\]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-88) = 324 + 352 = 676\]

Найдем корни:

\[v_1 = \frac{-(-18) + \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{18 + 26}{2} = \frac{44}{2} = 22\] \[v_2 = \frac{-(-18) - \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{18 - 26}{2} = \frac{-8}{2} = -4\]

Так как скорость не может быть отрицательной, то \(v = 22\) км/ч.

Ответ: 22 км/ч

Отлично! Ты хорошо справился с решением уравнений и задач на движение. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!