• 1. Решите уравнение: a) 3x+4/x²-16 = x²/x²-16; б) 3/x-5 + 8/x =2. 2. Катер прошел 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шел 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч?

1. Решите уравнение:

а) \(\frac{3x+4}{x^2-16} = \frac{x^2}{x^2-16}\)

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю: \(x^2 - 16 ≠ 0\), следовательно, \(x ≠ ±4\).
• Шаг 2: Приравняем числители, так как знаменатели равны и не равны нулю: \(3x + 4 = x^2\).
• Шаг 3: Перенесем все в одну сторону и получим квадратное уравнение: \(x^2 - 3x - 4 = 0\).
• Шаг 4: Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.

По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = 3\) и \(x_1 \cdot x_2 = -4\). Корни: \(x_1 = 4\) и \(x_2 = -1\).

• Шаг 5: Учтем ОДЗ. \(x = 4\) не подходит, так как при этом знаменатель обращается в ноль.

Ответ: \(x = -1\)

б) \(\frac{3}{x-5} + \frac{8}{x} = 2\)

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем ОДЗ. \(x ≠ 5\) и \(x ≠ 0\).
• Шаг 2: Приведем к общему знаменателю: \(\frac{3x + 8(x-5)}{x(x-5)} = 2\).
• Шаг 3: Упростим числитель: \(\frac{3x + 8x - 40}{x^2 - 5x} = 2\).
• Шаг 4: \(\frac{11x - 40}{x^2 - 5x} = 2\).
• Шаг 5: \(11x - 40 = 2(x^2 - 5x)\).
• Шаг 6: \(11x - 40 = 2x^2 - 10x\).
• Шаг 7: \(2x^2 - 21x + 40 = 0\).

Решим квадратное уравнение через дискриминант: \(D = (-21)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 40 = 441 - 320 = 121\). \(x_1 = \frac{21 + \sqrt{121}}{4} = \frac{21 + 11}{4} = \frac{32}{4} = 8\). \(x_2 = \frac{21 - \sqrt{121}}{4} = \frac{21 - 11}{4} = \frac{10}{4} = 2.5\).

Ответ: \(x_1 = 8\), \(x_2 = 2.5\)

2. Задача про катер

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Время, затраченное на путь против течения: \(\frac{12}{v-3}\).
• Шаг 2: Время, затраченное на путь по течению: \(\frac{5}{v+3}\).
• Шаг 3: Общее время: \(\frac{12}{v-3} + \frac{5}{v+3}\).
• Шаг 4: Время, затраченное на путь по озеру: \(\frac{18}{v}\).
• Шаг 5: Составим уравнение: \(\frac{12}{v-3} + \frac{5}{v+3} = \frac{18}{v}\).
• Шаг 6: Приведем к общему знаменателю: \(\frac{12(v+3) + 5(v-3)}{(v-3)(v+3)} = \frac{18}{v}\).
• Шаг 7: \(\frac{12v + 36 + 5v - 15}{v^2 - 9} = \frac{18}{v}\).
• Шаг 8: \(\frac{17v + 21}{v^2 - 9} = \frac{18}{v}\).
• Шаг 9: \(v(17v + 21) = 18(v^2 - 9)\).
• Шаг 10: \(17v^2 + 21v = 18v^2 - 162\).
• Шаг 11: \(v^2 - 21v - 162 = 0\).

Решим квадратное уравнение через дискриминант: \(D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 441 + 648 = 1089\). \(v_1 = \frac{21 + \sqrt{1089}}{2} = \frac{21 + 33}{2} = \frac{54}{2} = 27\). \(v_2 = \frac{21 - \sqrt{1089}}{2} = \frac{21 - 33}{2} = \frac{-12}{2} = -6\).

Так как скорость не может быть отрицательной, то \(v = 27\).

Ответ: Собственная скорость катера равна 27 км/ч.