• а) Решите уравнение cos2x+1= √2sin(-x); б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку -4π; 5π 2

Решение уравнения cos2x+1 = √2sin(π/2 - x)

а) Решим уравнение cos2x+1 = √2sin(π/2 - x).

Используем формулу cos2x = 2cos²x - 1 и sin(π/2 - x) = cosx.

Тогда уравнение примет вид: 2cos²x - 1 + 1 = √2cosx.

Упрощаем: 2cos²x = √2cosx.

Переносим всё в одну сторону: 2cos²x - √2cosx = 0.

Выносим общий множитель cosx: cosx(2cosx - √2) = 0.

Получаем два случая:

1. cosx = 0, тогда x = π/2 + πn, где n ∈ Z.
2. 2cosx - √2 = 0, тогда cosx = √2/2, x = ±π/4 + 2πk, где k ∈ Z.

Ответ: x = π/2 + πn, x = ±π/4 + 2πk, где n, k ∈ Z.

Нахождение корней уравнения на отрезке [-4π; -5π/2]

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4π; -5π/2].

Найдём корни для каждого случая:

1. x = π/2 + πn

Подставляем различные значения n, чтобы найти корни, попадающие в отрезок [-4π; -5π/2].

-4π ≤ π/2 + πn ≤ -5π/2

-4 ≤ 1/2 + n ≤ -5/2

-4 - 1/2 ≤ n ≤ -5/2 - 1/2

-9/2 ≤ n ≤ -6/2

-4.5 ≤ n ≤ -3

n может быть равно -4 и -3.

• n = -4, x = π/2 + π(-4) = π/2 - 4π = -7π/2
• n = -3, x = π/2 + π(-3) = π/2 - 3π = -5π/2

2. x = ±π/4 + 2πk

Подставляем различные значения k, чтобы найти корни, попадающие в отрезок [-4π; -5π/2].

-4π ≤ π/4 + 2πk ≤ -5π/2

-4 ≤ 1/4 + 2k ≤ -5/2

-4 - 1/4 ≤ 2k ≤ -5/2 - 1/4

-17/4 ≤ 2k ≤ -11/4

-17/8 ≤ k ≤ -11/8

-2.125 ≤ k ≤ -1.375

k может быть равно -2.

• k = -2, x = π/4 + 2π(-2) = π/4 - 4π = -15π/4

-4π ≤ -π/4 + 2πk ≤ -5π/2

-4 ≤ -1/4 + 2k ≤ -5/2

-4 + 1/4 ≤ 2k ≤ -5/2 + 1/4

-15/4 ≤ 2k ≤ -9/4

-15/8 ≤ k ≤ -9/8

-1.875 ≤ k ≤ -1.125

k может быть равно -1.

• k = -1, x = -π/4 + 2π(-1) = -π/4 - 2π = -9π/4

Ответ: -7π/2, -5π/2, -15π/4, -9π/4.