•14.21. Известно, что sint + cost = 0,6. Вычислите: a) sin³ t + cos³ t; б) tgt sint + ctg t cost. •14.22. Известно, что tgt + ctg t = 2,3. Вычислите: a) tg² t + ctg² t; б) tg³ t + ctg³ t.

14.21

a) Известно, что \( \sin t + \cos t = 0.6 \). Вычислим \( \sin^3 t + \cos^3 t \).

Используем формулу суммы кубов: \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)

Тогда \( \sin^3 t + \cos^3 t = (\sin t + \cos t)(\sin^2 t - \sin t \cos t + \cos^2 t) \)

Так как \( \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \), то

\( \sin^3 t + \cos^3 t = (\sin t + \cos t)(1 - \sin t \cos t) \)

Известно, что \( (\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t = 1 + 2 \sin t \cos t \)

Тогда \( (0.6)^2 = 1 + 2 \sin t \cos t \)

\( 0.36 = 1 + 2 \sin t \cos t \)

\( 2 \sin t \cos t = -0.64 \)

\( \sin t \cos t = -0.32 \)

Следовательно, \( \sin^3 t + \cos^3 t = (0.6)(1 - (-0.32)) = 0.6 \cdot 1.32 = 0.792 \)

б) Вычислим \( \tg t \sin t + \ctg t \cos t \).

\( \tg t \sin t + \ctg t \cos t = \frac{\sin t}{\cos t} \sin t + \frac{\cos t}{\sin t} \cos t = \frac{\sin^2 t}{\cos t} + \frac{\cos^2 t}{\sin t} = \frac{\sin^3 t + \cos^3 t}{\sin t \cos t} \)

Мы уже знаем, что \( \sin^3 t + \cos^3 t = 0.792 \) и \( \sin t \cos t = -0.32 \)

Тогда \( \tg t \sin t + \ctg t \cos t = \frac{0.792}{-0.32} = -2.475 \)

14.22

a) Известно, что \( \tg t + \ctg t = 2.3 \). Вычислим \( \tg^2 t + \ctg^2 t \).

Так как \( (\tg t + \ctg t)^2 = \tg^2 t + 2 \tg t \ctg t + \ctg^2 t \), а \( \tg t \ctg t = 1 \), то

\( (2.3)^2 = \tg^2 t + 2 + \ctg^2 t \)

\( 5.29 = \tg^2 t + 2 + \ctg^2 t \)

\( \tg^2 t + \ctg^2 t = 5.29 - 2 = 3.29 \)

б) Вычислим \( \tg^3 t + \ctg^3 t \).

Используем формулу \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)

Тогда \( \tg^3 t + \ctg^3 t = (\tg t + \ctg t)(\tg^2 t - \tg t \ctg t + \ctg^2 t) = (\tg t + \ctg t)(\tg^2 t - 1 + \ctg^2 t) \)

Мы знаем, что \( \tg t + \ctg t = 2.3 \) и \( \tg^2 t + \ctg^2 t = 3.29 \)

Следовательно, \( \tg^3 t + \ctg^3 t = (2.3)(3.29 - 1) = 2.3 \cdot 2.29 = 5.267 \)