•1. Найдите пятый член геометрической прогрессии (bₙ), если b₁ = -125 и q = 0,2. •2. Последовательность (bₙ) – геометрическая прогрес- сия, в которой b₃ = 27 и q = √3. Найдите b₁. •3. Найдите сумму первых девяти членов геометриче- ской прогрессии (bₙ), в которой b₂ = 0,08 и b₅ = 0,64. 4. Известны два члена геометрической прогрессии: b₃ = 14,4 и b₆ = 388,8. Найдите ее первый член. 5. Сумма первых трех членов геометрической прогрес- сии равна 28, знаменатель прогрессии равен \(\frac{1}{2}\). Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии.

Вариант 4

1. Найдите пятый член геометрической прогрессии (bₙ), если b₁ = -125 и q = 0,2.

• Вспоминаем формулу n-го члена геометрической прогрессии: \[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\]
• Подставляем известные значения: \[b_5 = -125 \cdot (0.2)^{5-1} = -125 \cdot (0.2)^4\]
• Вычисляем: \[b_5 = -125 \cdot 0.0016 = -0.2\]

2. Последовательность (bₙ) – геометрическая прогрессия, в которой b₃ = 27 и q = √3. Найдите b₁.

• Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии: \[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\]
• Выражаем b₃ через b₁ и q: \[b_3 = b_1 \cdot q^2\]
• Подставляем известные значения: \[27 = b_1 \cdot (\sqrt{3})^2\]
• Решаем уравнение относительно b₁: \[27 = b_1 \cdot 3\] \[b_1 = \frac{27}{3} = 9\]

3. Найдите сумму первых девяти членов геометрической прогрессии (bₙ), в которой b₂ = 0,08 и b₅ = 0,64.

• Находим знаменатель прогрессии q: \[\frac{b_5}{b_2} = q^3\] \[\frac{0.64}{0.08} = q^3\] \[8 = q^3\] \[q = 2\]
• Находим первый член b₁: \[b_2 = b_1 \cdot q\] \[0.08 = b_1 \cdot 2\] \[b_1 = 0.04\]
• Вспоминаем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии: \[S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}\]
• Подставляем значения и вычисляем: \[S_9 = \frac{0.04(2^9 - 1)}{2 - 1} = \frac{0.04(512 - 1)}{1} = 0.04 \cdot 511 = 20.44\]

4. Известны два члена геометрической прогрессии: b₃ = 14,4 и b₆ = 388,8. Найдите ее первый член.

• Находим знаменатель прогрессии q: \[\frac{b_6}{b_3} = q^3\] \[\frac{388.8}{14.4} = q^3\] \[27 = q^3\] \[q = 3\]
• Находим первый член b₁: \[b_3 = b_1 \cdot q^2\] \[14.4 = b_1 \cdot 3^2\] \[14.4 = b_1 \cdot 9\] \[b_1 = \frac{14.4}{9} = 1.6\]

5. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 28, знаменатель прогрессии равен \(\frac{1}{2}\). Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии.

• Находим первый член b₁: \[S_3 = \frac{b_1(1 - q^3)}{1 - q}\] \[28 = \frac{b_1(1 - (\frac{1}{2})^3)}{1 - \frac{1}{2}}\] \[28 = \frac{b_1(1 - \frac{1}{8})}{\frac{1}{2}}\] \[28 = \frac{b_1(\frac{7}{8})}{\frac{1}{2}}\] \[28 = b_1 \cdot \frac{7}{4}\] \[b_1 = \frac{28 \cdot 4}{7} = 16\]
• Находим сумму первых семи членов: \[S_7 = \frac{b_1(1 - q^7)}{1 - q}\] \[S_7 = \frac{16(1 - (\frac{1}{2})^7)}{1 - \frac{1}{2}}\] \[S_7 = \frac{16(1 - \frac{1}{128})}{\frac{1}{2}}\] \[S_7 = \frac{16(\frac{127}{128})}{\frac{1}{2}}\] \[S_7 = 32 \cdot \frac{127}{128} = \frac{127}{4} = 31.75\]