•1. Постройте график функции у = х²- 2х - 8. Найдите с помощью графика: а) значение у при х = -1,5; б) значения х, при которых у = 3; в) нули функции; промежутки, в которых у > 0 и в которых у < 0; г) промежуток, в котором функция возрастает. •2. Найдите наибольшее значение функции y = -x² + 4x + 3. 3. Найдите область значений функции у = х² - 2х - 3, где х є [0; 3]. 4. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола у = 1/2х² и прямая у = 12 – х. Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.

1. Для решения этой задачи требуется построить график функции $$y = x^2 - 2x - 8$$, а затем, используя график, ответить на вопросы. 1. 1. Построение графика: * Функция $$y = x^2 - 2x - 8$$ является квадратичной, её графиком является парабола. Чтобы построить параболу, найдём координаты вершины, нули функции и дополнительные точки. * Вершина параболы: * Координата x вершины: $$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$$ * Координата y вершины: $$y_в = (1)^2 - 2(1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$$ * Вершина параболы: $$(1; -9)$$ * Нули функции: * Решим уравнение $$x^2 - 2x - 8 = 0$$. * Используем теорему Виета или дискриминант: * $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$ * $$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = 4$$ * $$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = -2$$ * Нули функции: $$x_1 = 4$$ и $$x_2 = -2$$. * Дополнительные точки: * Возьмём, например, $$x = -1$$ и $$x = 5$$. * $$y(-1) = (-1)^2 - 2(-1) - 8 = 1 + 2 - 8 = -5$$ * $$y(5) = (5)^2 - 2(5) - 8 = 25 - 10 - 8 = 7$$ * Дополнительные точки: $$(-1; -5)$$ и $$(5; 7)$$. Теперь мы можем построить график параболы. 1. 2. Анализ графика: а) Значение $$y$$ при $$x = -1,5$$: * Подставим $$x = -1,5$$ в уравнение функции: $$y = (-1,5)^2 - 2(-1,5) - 8 = 2,25 + 3 - 8 = -2,75$$. * При $$x = -1,5, y = -2,75$$. б) Значения $$x$$, при которых $$y = 3$$: * Решим уравнение $$x^2 - 2x - 8 = 3$$, то есть $$x^2 - 2x - 11 = 0$$. * Используем дискриминант: * $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 4 + 44 = 48$$ * $$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{48}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4\sqrt{3}}{2} = 1 + 2\sqrt{3}$$ * $$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{48}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4\sqrt{3}}{2} = 1 - 2\sqrt{3}$$ * При $$y = 3, x_1 = 1 + 2\sqrt{3}$$ и $$x_2 = 1 - 2\sqrt{3}$$. в) Нули функции; промежутки, в которых $$y > 0$$ и в которых $$y < 0$$: * Нули функции: $$x_1 = 4$$ и $$x_2 = -2$$. * $$y > 0$$ при $$x \in (-\infty; -2) \cup (4; +\infty)$$. * $$y < 0$$ при $$x \in (-2; 4)$$. г) Промежуток, в котором функция возрастает: * Функция возрастает на промежутке $$(1; +\infty)$$, где $$x > 1$$. 2. Найти наибольшее значение функции $$y = -x^2 + 4x + 3$$. * Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $$x^2$$ отрицательный). * Найбольшее значение функции достигается в вершине параболы. * Координата x вершины: $$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$$ * Координата y вершины: $$y_в = -(2)^2 + 4(2) + 3 = -4 + 8 + 3 = 7$$ * Наибольшее значение функции равно 7. 3. Найти область значений функции $$y = x^2 - 2x - 3$$, где $$x \in [0; 3]$$. * Функция $$y = x^2 - 2x - 3$$ является квадратичной, её графиком является парабола. * Координата x вершины: $$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$$. * Координата y вершины: $$y_в = (1)^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$$. * Определим значения функции на концах отрезка $$[0; 3]$$: * $$y(0) = (0)^2 - 2(0) - 3 = -3$$ * $$y(3) = (3)^2 - 2(3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$$ * Наименьшее значение функции на отрезке равно значению в вершине, то есть $$-4$$, так как вершина лежит в заданном отрезке. Наибольшее значение функции на отрезке равно $$0$$. * Область значений функции: $$y \in [-4; 0]$$. 4. Определить, пересекаются ли парабола $$y = \frac{1}{2}x^2$$ и прямая $$y = 12 - x$$. Если точки пересечения существуют, то найти их координаты. * Чтобы найти точки пересечения, нужно решить систему уравнений: $$\begin{cases} y = \frac{1}{2}x^2 \\ y = 12 - x \end{cases}$$ * Приравняем правые части уравнений: $$\frac{1}{2}x^2 = 12 - x$$ * Умножим обе части на 2: $$x^2 = 24 - 2x$$ * Перенесём всё в левую часть: $$x^2 + 2x - 24 = 0$$ * Решим квадратное уравнение: * Используем теорему Виета или дискриминант: * $$D = (2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$$ * $$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 10}{2} = 4$$ * $$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 10}{2} = -6$$ * Найдём соответствующие значения $$y$$: * При $$x_1 = 4, y_1 = 12 - 4 = 8$$. * При $$x_2 = -6, y_2 = 12 - (-6) = 18$$. * Точки пересечения: $$(4; 8)$$ и $$(-6; 18)$$.