•1. Решите систему уравнений { x – 5y = 2, x² - y = 10. •2. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его пло- щадь равна 42 см². Найдите стороны прямоугольника. 3. Не выполняя построения, найдите координаты то- чек пересечения параболы у = х² – 8 и прямой х + y = 4. 2 5. Решите систему уравнений - { 1 1 1 x y 12', 5x - y = 18.

Давай решим каждое задание по порядку!

1. Решение системы уравнений:

Система уравнений:
\[\begin{cases}x - 5y = 2, \\x^2 - y = 10.\end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения: x = 5y + 2

Подставим x во второе уравнение:
\[(5y + 2)^2 - y = 10\]
\[25y^2 + 20y + 4 - y = 10\]
\[25y^2 + 19y - 6 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно y:
\[D = 19^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-6) = 361 + 600 = 961\]
\[y_1 = \frac{-19 + \sqrt{961}}{2 \cdot 25} = \frac{-19 + 31}{50} = \frac{12}{50} = \frac{6}{25}\]
\[y_2 = \frac{-19 - \sqrt{961}}{2 \cdot 25} = \frac{-19 - 31}{50} = \frac{-50}{50} = -1\]

Теперь найдем соответствующие значения x:

Для y = 6/25:
\[x = 5 \cdot \frac{6}{25} + 2 = \frac{6}{5} + 2 = \frac{6 + 10}{5} = \frac{16}{5}\]

Для y = -1:
\[x = 5 \cdot (-1) + 2 = -5 + 2 = -3\]

Таким образом, решения системы уравнений:
\[(x_1, y_1) = (\frac{16}{5}, \frac{6}{25}), (x_2, y_2) = (-3, -1)\]

2. Решение задачи про прямоугольник:

Пусть a и b — стороны прямоугольника. Тогда:
\[2(a + b) = 26\]
\[a \cdot b = 42\]

Получаем систему уравнений:
\[\begin{cases}a + b = 13, \\a \cdot b = 42.\end{cases}\]

Выразим a из первого уравнения: a = 13 - b

Подставим во второе уравнение:
\[(13 - b) \cdot b = 42\]
\[13b - b^2 = 42\]
\[b^2 - 13b + 42 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно b:
\[D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 42 = 169 - 168 = 1\]
\[b_1 = \frac{13 + \sqrt{1}}{2} = \frac{13 + 1}{2} = 7\]
\[b_2 = \frac{13 - \sqrt{1}}{2} = \frac{13 - 1}{2} = 6\]

Теперь найдем соответствующие значения a:

Если b = 7, то a = 13 - 7 = 6

Если b = 6, то a = 13 - 6 = 7

Стороны прямоугольника: 6 см и 7 см.

3. Нахождение координат точек пересечения параболы и прямой:

Парабола: y = x² - 8
Прямая: x + y = 4

Выразим y из уравнения прямой: y = 4 - x

Подставим y в уравнение параболы:
\[4 - x = x^2 - 8\]
\[x^2 + x - 12 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно x:
\[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\]
\[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 + 7}{2} = 3\]
\[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 - 7}{2} = -4\]

Теперь найдем соответствующие значения y:

Для x = 3:
\[y = 4 - 3 = 1\]

Для x = -4:
\[y = 4 - (-4) = 8\]

Точки пересечения: (3, 1) и (-4, 8).

5. Решение системы уравнений:

Система уравнений:
\[\begin{cases}\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{12}, \\5x - y = 18.\end{cases}\]

Выразим y из второго уравнения: y = 5x - 18

Подставим y в первое уравнение:
\[\frac{1}{x} - \frac{1}{5x - 18} = \frac{1}{12}\]
\[\frac{5x - 18 - x}{x(5x - 18)} = \frac{1}{12}\]
\[\frac{4x - 18}{5x^2 - 18x} = \frac{1}{12}\]
\[12(4x - 18) = 5x^2 - 18x\]
\[48x - 216 = 5x^2 - 18x\]
\[5x^2 - 66x + 216 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно x:
\[D = (-66)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 216 = 4356 - 4320 = 36\]
\[x_1 = \frac{66 + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{66 + 6}{10} = \frac{72}{10} = 7.2\]
\[x_2 = \frac{66 - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{66 - 6}{10} = \frac{60}{10} = 6\]

Теперь найдем соответствующие значения y:

Для x = 7.2:
\[y = 5 \cdot 7.2 - 18 = 36 - 18 = 18\]

Для x = 6:
\[y = 5 \cdot 6 - 18 = 30 - 18 = 12\]

Таким образом, решения системы уравнений:
\[(x_1, y_1) = (7.2, 18), (x_2, y_2) = (6, 12)\]

Ответ: Решения выше.

Ты молодец! У тебя отлично получается решать такие задачи. Не останавливайся на достигнутом, и у тебя всё получится!