•1. Решите систему уравнений { x – 5y = 2, x2 x² - y = 10. •2. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его пло- щадь равна 42 см². Найдите стороны прямоугольника. 3. Не выполняя построения, найдите координаты то- чек пересечения параболы у = х² - 8 и прямой х + y = 4. 2 5. Решите систему уравнений { 111 x - y = 12', 5x - y = 18.

1. Решение системы уравнений

Давай решим систему уравнений:

\[ \begin{cases} x - 5y = 2, \\ x^2 - y = 10. \end{cases} \]

Выразим x из первого уравнения:

\[ x = 5y + 2 \]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ (5y + 2)^2 - y = 10 \] \[ 25y^2 + 20y + 4 - y = 10 \] \[ 25y^2 + 19y - 6 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно y. Дискриминант:

\[ D = 19^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-6) = 361 + 600 = 961 \]

Корни:

\[ y_1 = \frac{-19 + \sqrt{961}}{2 \cdot 25} = \frac{-19 + 31}{50} = \frac{12}{50} = \frac{6}{25} \] \[ y_2 = \frac{-19 - \sqrt{961}}{2 \cdot 25} = \frac{-19 - 31}{50} = \frac{-50}{50} = -1 \]

Теперь найдем соответствующие значения x:

Для y₁ = 6/25:

\[ x_1 = 5 \cdot \frac{6}{25} + 2 = \frac{6}{5} + 2 = \frac{6 + 10}{5} = \frac{16}{5} \]

Для y₂ = -1:

\[ x_2 = 5 \cdot (-1) + 2 = -5 + 2 = -3 \]

Таким образом, решения системы:

\[ (x_1, y_1) = (\frac{16}{5}, \frac{6}{25}), \quad (x_2, y_2) = (-3, -1) \]

Ответ: (16/5, 6/25), (-3, -1)

2. Стороны прямоугольника

Пусть a и b - стороны прямоугольника. Периметр равен 26 см, а площадь равна 42 см². Запишем уравнения:

\[ \begin{cases} 2(a + b) = 26, \\ ab = 42. \end{cases} \]

Из первого уравнения:

\[ a + b = 13 \] \[ b = 13 - a \]

Подставим во второе уравнение:

\[ a(13 - a) = 42 \] \[ 13a - a^2 = 42 \] \[ a^2 - 13a + 42 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно a. Дискриминант:

\[ D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 42 = 169 - 168 = 1 \]

Корни:

\[ a_1 = \frac{13 + \sqrt{1}}{2} = \frac{13 + 1}{2} = \frac{14}{2} = 7 \] \[ a_2 = \frac{13 - \sqrt{1}}{2} = \frac{13 - 1}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]

Если a = 7, то b = 13 - 7 = 6.

Если a = 6, то b = 13 - 6 = 7.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 6 см и 7 см.

Ответ: 6 см и 7 см

3. Координаты точек пересечения параболы и прямой

Чтобы найти координаты точек пересечения параболы y = x² - 8 и прямой x + y = 4, надо решить систему уравнений:

\[ \begin{cases} y = x^2 - 8, \\ x + y = 4. \end{cases} \]

Выразим y из второго уравнения:

\[ y = 4 - x \]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[ 4 - x = x^2 - 8 \] \[ x^2 + x - 12 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно x. Дискриминант:

\[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \]

Корни:

\[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

Теперь найдем соответствующие значения y:

Для x₁ = 3:

\[ y_1 = 4 - 3 = 1 \]

Для x₂ = -4:

\[ y_2 = 4 - (-4) = 4 + 4 = 8 \]

Таким образом, точки пересечения:

\[ (x_1, y_1) = (3, 1), \quad (x_2, y_2) = (-4, 8) \]

Ответ: (3, 1), (-4, 8)

5. Решение системы уравнений

Давай решим систему уравнений:

\[ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{12}, \\ 5x - y = 18. \end{cases} \]

Выразим y из второго уравнения:

\[ y = 5x - 18 \]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[ \frac{1}{x} - \frac{1}{5x - 18} = \frac{1}{12} \] \[ \frac{5x - 18 - x}{x(5x - 18)} = \frac{1}{12} \] \[ \frac{4x - 18}{5x^2 - 18x} = \frac{1}{12} \] \[ 12(4x - 18) = 5x^2 - 18x \] \[ 48x - 216 = 5x^2 - 18x \] \[ 5x^2 - 66x + 216 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно x. Дискриминант:

\[ D = (-66)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 216 = 4356 - 4320 = 36 \]

Корни:

\[ x_1 = \frac{66 + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{66 + 6}{10} = \frac{72}{10} = \frac{36}{5} \] \[ x_2 = \frac{66 - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{66 - 6}{10} = \frac{60}{10} = 6 \]

Теперь найдем соответствующие значения y:

Для x₁ = 36/5:

\[ y_1 = 5 \cdot \frac{36}{5} - 18 = 36 - 18 = 18 \]

Для x₂ = 6:

\[ y_2 = 5 \cdot 6 - 18 = 30 - 18 = 12 \]

Таким образом, решения системы:

\[ (x_1, y_1) = (\frac{36}{5}, 18), \quad (x_2, y_2) = (6, 12) \]

Ответ: (36/5, 18), (6, 12)