• Решите уравнение: 4) x² + 8x-9= 0; 2) 12x² - 5x - 2 = 0; 3) x²-6x-3 = 0; 6) x² - 3x + 11 = 0. 2. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь 36 см². Найдите длины сторон прямоугольника. 3. Разложите жите на множители квадратный трёхчлен: 1) x² + 3x-40; n 2) 6x2 + x − 12. 4. Сократите дробь 5a² + 3a - 2 a2-1

1. Решите уравнение:

1) x² + 8x - 9 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100\]

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9\]

Ответ: x₁ = 1, x₂ = -9

2) 12x² - 5x - 2 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-2) = 25 + 96 = 121\]

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 12} = \frac{5 + 11}{24} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{121}}{2 \cdot 12} = \frac{5 - 11}{24} = \frac{-6}{24} = -\frac{1}{4}\]

Ответ: x₁ = 2/3, x₂ = -1/4

3) x² - 6x - 3 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 36 + 12 = 48\]

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{48}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4\sqrt{3}}{2} = 3 + 2\sqrt{3}\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{48}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4\sqrt{3}}{2} = 3 - 2\sqrt{3}\]

Ответ: x₁ = 3 + 2√3, x₂ = 3 - 2√3

4) x² - 3x + 11 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 9 - 44 = -35\]

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных решений

2. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь 36 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

Пусть a и b - длины сторон прямоугольника. Тогда периметр P = 2(a + b) = 26, а площадь S = a * b = 36.

Из уравнения для периметра выразим a + b = 13, значит a = 13 - b.

Подставим это в уравнение для площади: (13 - b) * b = 36

Раскроем скобки и перенесем все в одну сторону: 13b - b² - 36 = 0

Умножим на -1: b² - 13b + 36 = 0

Решим квадратное уравнение для b:

\[D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\]

\[b_1 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2} = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9\]

\[b_2 = \frac{13 - \sqrt{25}}{2} = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4\]

Если b = 9, то a = 13 - 9 = 4. Если b = 4, то a = 13 - 4 = 9.

Таким образом, длины сторон прямоугольника 4 см и 9 см.

Ответ: 4 см и 9 см

3. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

1) x² + 3x - 40

Найдем корни квадратного трехчлена, решив уравнение x² + 3x - 40 = 0 через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169\]

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 13}{2} = \frac{10}{2} = 5\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 13}{2} = \frac{-16}{2} = -8\]

Разложение на множители: (x - x₁)(x - x₂) = (x - 5)(x + 8)

Ответ: (x - 5)(x + 8)

2) 6x² + x - 12

Найдем корни квадратного трехчлена, решив уравнение 6x² + x - 12 = 0 через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-12) = 1 + 288 = 289\]

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 17}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 17}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}\]

Разложение на множители: a(x - x₁)(x - x₂) = 6(x - 4/3)(x + 3/2) = 2(x - 4/3) * 3(x + 3/2) = (3x - 4)(2x + 3)

Ответ: (3x - 4)(2x + 3)

4. Сократите дробь: (5a² + 3a - 2) / (a² - 1)

Разложим числитель на множители, решив уравнение 5a² + 3a - 2 = 0 через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49\]

\[a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{-3 + 7}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\]

\[a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{-3 - 7}{10} = \frac{-10}{10} = -1\]

Разложение числителя: 5(a - 2/5)(a + 1) = (5a - 2)(a + 1)

Разложим знаменатель: a² - 1 = (a - 1)(a + 1)

Сократим дробь: ((5a - 2)(a + 1)) / ((a - 1)(a + 1)) = (5a - 2) / (a - 1)

Ответ: (5a - 2) / (a - 1)

Ответ: (5a - 2) / (a - 1)

Ты молодец! У тебя всё получится!