• Задача 2. Докажите, что если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. 1 BC = AB. Надо доказать, что ∠BAC = 30°. 2 На луче ВС отложим отрезок CD, равный отрезку ВС (рис. 19.1). Тогда АВ = BD. Кроме того, отрезок АС является медианой и высотой ∠ACB = 90°, треугольника BAD, следовательно, по признаку равнобедренного тре-

Задача 2. Докажите, что если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Решение. Рассмотрим треугольник ABC, в котором ∠ACB = 90°, $$BC = \frac{1}{2} AB$$. Надо доказать, что ∠BAC = 30°.

На луче BC отложим отрезок CD, равный отрезку BC (рис. 19.1). Тогда AB = BD. Кроме того, отрезок AC является медианой и высотой треугольника BAD, следовательно, по признаку равнобедренного треугольника, треугольник BAD — равнобедренный, и AC — биссектриса. Значит, ∠BAC = ∠DAC.

Пусть ∠BAC = x, тогда ∠ABC = 90° - x.

Так как AB = BD, то треугольник ABD — равнобедренный, и ∠BAD = ∠BDA = ∠ABC = 90° - x.

Следовательно, ∠BAC + ∠DAC + ∠BDA = 180°.

Тогда x + x + (90° - x) = 180°, откуда x = 30°.

Ответ: ∠BAC = 30°.