• ЗАДАЧИ 1. Две стороны равнобедренного треугольника равны 2 и 5. Найдите периметр этого треугольника. 2. *** Боковая сторона равнобедрен ного треугольника равна 5. Докажите, что его периметр меньше 20. 2. Сколько существует различных равнобедренных треугольников, боко вая сторона у которых равна 3, а дли на основания целое число 4. * Сколько существует различных треугольников, длины двух сторов ко торых равны 3 и 7, а длина третьей пехов число 6. ★白白 Докажите, что каждая Диать наль четырехугольника меньше пол вины его периметра. 7. * Докажите, что отрезки АB и АС, изображённые на клетчатой бу маге, по длине отличаются не больше чем на две клетки. (рис.) 8. * Периметр треугольника раве 28, а длины двух его сторон относи как 3: 7. Докажите, что третья сторо на этого треугольника больше 8. 9. ★白合 Две противоположные сторон четырёхугольника равны 2 и 5 другие - одинаковы. Может ли пере метр этого четырёхугольника бы меньше 107 ** Три стороны четырехугольника равны 2, 3 и 4. Докажите, что его риметр менше 18.

1. Две стороны равнобедренного треугольника равны 2 и 5. Найдите периметр этого треугольника.

• В равнобедренном треугольнике две стороны равны.
• Возможны два случая: 2, 2, 5 или 5, 5, 2.
• Проверим неравенство треугольника (сумма двух сторон должна быть больше третьей).
• Для 2, 2, 5: 2 + 2 < 5 (не выполняется).
• Для 5, 5, 2: 5 + 5 > 2 (выполняется).

Периметр треугольника 5, 5, 2: 5 + 5 + 2 = 12.

Если стороны равны 2, 5, 5, то периметр равен 2 + 5 + 5 = 12.

Если стороны равны 5, 2, 2, то периметр равен 5 + 2 + 2 = 9.

Ответ: 12 или 9

4. Сколько существует различных треугольников, длины двух сторон которых равны 3 и 7, а длина третьей - целое число?

• Пусть третья сторона равна x.
• По неравенству треугольника:

\[ 3 + 7 > x, \quad 3 + x > 7, \quad 7 + x > 3 \]

• Следовательно:

\[ 10 > x, \quad x > 4, \quad x > -4 \]

• Таким образом, x может быть 5, 6, 7, 8, 9.
• Всего 5 различных треугольников.

Но в условии спрашивается сколько различных треугольников. Это значит, что треугольник со сторонами 3, 7, 3 не будет подходить, т.к. он равнобедренный, и он уже был посчитан. То есть, нам нужно убрать треугольник со сторонами 3, 7, 7.

Следовательно, существует только 1 такой треугольник.

Ответ: 1

8. Периметр треугольника равен 28, а длины двух его сторон относятся как 3 : 7. Докажите, что третья сторона этого треугольника больше 8.

• Пусть длины двух сторон равны 3x и 7x.
• Периметр: 3x + 7x + c = 28, где c - длина третьей стороны.
• 10x + c = 28, откуда c = 28 - 10x.
• Чтобы доказать, что c > 8, нужно показать, что 28 - 10x > 8.
• 28 - 10x > 8
• 20 > 10x
• x < 2
• Так как 3x и 7x - длины сторон, то должны выполняться неравенства треугольника:
• 3x + 7x > c, 3x + c > 7x, 7x + c > 3x
• 10x > 28 - 10x, 3x + 28 - 10x > 7x, 7x + 28 - 10x > 3x
• 20x > 28, 28 > 14x, 28 > 6x
• x > 1.4, x < 2, x < 4.67
• Таким образом, 1.4 < x < 2
• c = 28 - 10x > 8.
• Например, при x = 1.5, c = 28 - 10 * 1.5 = 13.
• Сторона 13 больше 8.
• Доказано.

Третья сторона равна 12, что больше 8.

Ответ: 12