√367 4ˣ(√16¹⁻ˣ - 1 + 2) < 4 |4ˣ - 1|

Давай решим это неравенство по шагам. 1. Исходное неравенство: \[4^x(\sqrt{16^{1-x}} - 1 + 2) < 4|4^x - 1|\] 2. Упростим выражение в скобках: \[4^x(\sqrt{16^{1-x}} + 1) < 4|4^x - 1|\] 3. Преобразуем корень: \(\sqrt{16^{1-x}} = \sqrt{(4^2)^{1-x}} = \sqrt{4^{2-2x}} = 4^{1-x}\) 4. Подставим обратно в неравенство: \[4^x(4^{1-x} + 1) < 4|4^x - 1|\] 5. Раскроем скобки: \[4^x \cdot 4^{1-x} + 4^x < 4|4^x - 1|\] \[4^{x + 1 - x} + 4^x < 4|4^x - 1|\] \[4 + 4^x < 4|4^x - 1|\] 6. Разделим обе части на 4: \[1 + \frac{4^x}{4} < |4^x - 1|\] \[1 + 4^{x-1} < |4^x - 1|\] 7. Рассмотрим два случая для модуля: а) Если \(4^x - 1 \ge 0\), то \(x \ge 0\) и \(|4^x - 1| = 4^x - 1\): \[1 + 4^{x-1} < 4^x - 1\] \[2 < 4^x - 4^{x-1}\] \[2 < 4^x - \frac{4^x}{4}\] \[2 < 4^x(1 - \frac{1}{4})\] \[2 < 4^x \cdot \frac{3}{4}\] \[\frac{8}{3} < 4^x\] \[4^x > \frac{8}{3}\] Прологарифмируем по основанию 4: \[x > \log_4{\frac{8}{3}}\] б) Если \(4^x - 1 < 0\), то \(x < 0\) и \(|4^x - 1| = -(4^x - 1) = 1 - 4^x\): \[1 + 4^{x-1} < 1 - 4^x\] \[4^{x-1} < -4^x\] Это неравенство не имеет решений, так как \(4^{x-1}\) всегда положительно, а \(-4^x\) всегда отрицательно. 8. Объединим решения: Учитывая, что в первом случае \(x \ge 0\), и \(x > \log_4{\frac{8}{3}}\) и, зная, что \(\log_4{\frac{8}{3}} > 0\) (так как \(\frac{8}{3} > 1\)), окончательное решение: \[x > \log_4{\frac{8}{3}}\] Используя свойства логарифмов, можно записать: \[\log_4{\frac{8}{3}} = \log_4{8} - \log_4{3} = \log_4{2^3} - \log_4{3} = 3\log_4{2} - \log_4{3} = \frac{3}{2} - \log_4{3}\] Таким образом, решение: \[x > \frac{3}{2} - \log_4{3}\]

Ответ: x > 3/2 - log₄(3)