254. √ 5 9 ⋅ √ 4 5 и √ 3 8 ⋅ √ 8 5 .

Сравним числа $$ \sqrt{\frac{5}{9}} \cdot \sqrt{\frac{4}{5}} $$ и $$ \sqrt{\frac{3}{8}} \cdot \sqrt{\frac{8}{5}} $$. Преобразуем выражения:$$ \sqrt{\frac{5}{9}} \cdot \sqrt{\frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{5 \cdot 4}{9 \cdot 5}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} $$$$ \sqrt{\frac{3}{8}} \cdot \sqrt{\frac{8}{5}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 8}{8 \cdot 5}} = \sqrt{\frac{3}{5}} $$Сравним полученные числа $$ \frac{2}{3} $$ и $$ \sqrt{\frac{3}{5}} $$. Для этого возведем каждое число в квадрат:$$ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} $$$$ \left(\sqrt{\frac{3}{5}}\right)^2 = \frac{3}{5} $$Сравним дроби $$ \frac{4}{9} $$ и $$ \frac{3}{5} $$. Приведем дроби к общему знаменателю 45:$$ \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{20}{45} $$$$ \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{27}{45} $$Так как $$ \frac{20}{45} < \frac{27}{45} $$, то $$ \frac{2}{3} < \sqrt{\frac{3}{5}} $$, значит, $$ \sqrt{\frac{5}{9}} \cdot \sqrt{\frac{4}{5}} < \sqrt{\frac{3}{8}} \cdot \sqrt{\frac{8}{5}} $$.

Ответ: $$ \sqrt{\frac{5}{9}} \cdot \sqrt{\frac{4}{5}} < \sqrt{\frac{3}{8}} \cdot \sqrt{\frac{8}{5}} $$