2√4 - x² ≤ x + 4

Для решения неравенства $$2\sqrt{4-x^2} \le x+4$$, нужно учитывать ограничения, накладываемые квадратным корнем и самим неравенством.

1. Область определения (ОДЗ):

   Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным, то есть $$4-x^2 \ge 0$$. Это означает, что $$x^2 \le 4$$, и, следовательно, $$-2 \le x \le 2$$.

2. Анализ неравенства:

   Поскольку левая часть неравенства всегда неотрицательна (корень всегда дает неотрицательное значение), правая часть $$x+4$$ должна быть неотрицательной, чтобы неравенство имело смысл. То есть $$x+4 \ge 0$$, что означает $$x \ge -4$$.

   Учитывая ОДЗ $$-2 \le x \le 2$$, и условие $$x \ge -4$$, мы получаем, что $$x$$ должен быть в диапазоне $$-2 \le x \le 2$$.

3. Решение неравенства:

   Возведем обе части неравенства в квадрат, учитывая, что обе части неотрицательны:

   $$(2\sqrt{4-x^2})^2 \le (x+4)^2$$

   $$4(4-x^2) \le x^2 + 8x + 16$$

   $$16 - 4x^2 \le x^2 + 8x + 16$$

   $$0 \le 5x^2 + 8x$$

   $$5x^2 + 8x \ge 0$$

   $$x(5x + 8) \ge 0$$

4. Найдем корни квадратного уравнения:

   $$x(5x + 8) = 0$$

   Корни: $$x_1 = 0$$ и $$x_2 = -\frac{8}{5} = -1.6$$

5. Определим интервалы, где выполняется неравенство:

   Неравенство $$x(5x + 8) \ge 0$$ выполняется, когда $$x \le -1.6$$ или $$x \ge 0$$.

6. Учитываем ОДЗ:

   Так как $$x$$ должен быть в диапазоне $$-2 \le x \le 2$$, пересекаем полученные интервалы с ОДЗ.

   Интервал $$x \le -1.6$$ пересекается с ОДЗ как $$-2 \le x \le -1.6$$.

   Интервал $$x \ge 0$$ пересекается с ОДЗ как $$0 \le x \le 2$$.

Объединяя эти два интервала, получаем решение неравенства: $$x \in [-2; -1.6] \cup [0; 2]$$

Ответ: $$x \in [-2; -1.6] \cup [0; 2]$$