√3 4 - что cos x = π 8 17 2 -< α <0. sin 2a. -е выражение 1 + cos 20 "равнение sin² cos² Бормул 2a-sin² a α 2 α -sin- 2 2 = √3 2

Задание 1: Дано: cos α = 8/17, -π/2 < α < 0. Найти sin 2α.

• Шаг 1: Находим sin α, зная cos α и то, что α лежит в четвертой четверти, где синус отрицателен:

\[ sin^2 α + cos^2 α = 1 \] \[ sin α = -\sqrt{1 - cos^2 α} = -\sqrt{1 - (\frac{8}{17})^2} = -\sqrt{1 - \frac{64}{289}} = -\sqrt{\frac{225}{289}} = -\frac{15}{17} \]

• Шаг 2: Используем формулу двойного угла для синуса:

\[ sin 2α = 2 sin α cos α = 2 \cdot (-\frac{15}{17}) \cdot \frac{8}{17} = -\frac{240}{289} \]

Ответ: sin 2α = -240/289

Задание 2: Упростить выражение: sin 2α / (1 + cos 2α)

• Шаг 1: Используем формулы двойного угла:

\[ sin 2α = 2 sin α cos α \] \[ cos 2α = cos^2 α - sin^2 α \]

• Шаг 2: Подставляем в выражение:

\[ \frac{sin 2α}{1 + cos 2α} = \frac{2 sin α cos α}{1 + cos^2 α - sin^2 α} \]

• Шаг 3: Заменим 1 на sin² α + cos² α:

\[ \frac{2 sin α cos α}{sin^2 α + cos^2 α + cos^2 α - sin^2 α} = \frac{2 sin α cos α}{2 cos^2 α} = \frac{sin α}{cos α} = tan α \]

Ответ: tan α

Задание 3: Решить уравнение: sin²(x/6) - cos²(x/6) = -√3/2

• Шаг 1: Заметим, что sin²(x/6) - cos²(x/6) = -cos(2 * x/6) = -cos(x/3)

\[ -cos(\frac{x}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ cos(\frac{x}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

• Шаг 2: Находим общее решение:

\[ \frac{x}{3} = ±arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2πk, k ∈ Z \] \[ \frac{x}{3} = ±\frac{π}{6} + 2πk, k ∈ Z \]

• Шаг 3: Умножаем обе части на 3:

\[ x = ±\frac{π}{2} + 6πk, k ∈ Z \]

Ответ: x = ±π/2 + 6πk, k ∈ Z