√5 7. Дано: sin a + cos a = Найдите sin a cos a 2

Решение:

Дано: sin α + cos α = √5/2. Нужно найти sin α ⋅ cos α.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[ (sin α + cos α)^2 = (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 \]

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b²

\[ sin^2 α + 2 \cdot sin α \cdot cos α + cos^2 α = \frac{5}{4} \]

Мы знаем, что основное тригонометрическое тождество: sin² α + cos² α = 1, поэтому:

\[ 1 + 2 \cdot sin α \cdot cos α = \frac{5}{4} \]

Выразим 2 ⋅ sin α ⋅ cos α:

\[ 2 \cdot sin α \cdot cos α = \frac{5}{4} - 1 \] \[ 2 \cdot sin α \cdot cos α = \frac{5}{4} - \frac{4}{4} \] \[ 2 \cdot sin α \cdot cos α = \frac{1}{4} \]

Теперь найдем sin α ⋅ cos α, разделив обе части на 2:

\[ sin α \cdot cos α = \frac{1}{4} : 2 \] \[ sin α \cdot cos α = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \] \[ sin α \cdot cos α = \frac{1}{8} \]

Ответ: sin α ⋅ cos α = 1/8