√4. Упростите выражение: a) \(\frac{bx^2-4b}{x^2+1}:\frac{x-2}{4x+4}\)= b) \(\frac{4y^4-4y^2}{y^2-y+1}:\frac{8y^4-8y^3}{2y^3+2}\)=

Решение:

а) Упростим выражение:

$$\frac{bx^2-4b}{x^2+1}:\frac{x-2}{4x+4}$$

Для начала разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби:

$$\frac{b(x^2-4)}{x^2+1}:\frac{x-2}{4(x+1)}$$ $$\frac{b(x-2)(x+2)}{x^2+1}:\frac{x-2}{4(x+1)}$$

Заменим деление умножением, перевернув вторую дробь:

$$\frac{b(x-2)(x+2)}{x^2+1} \cdot \frac{4(x+1)}{x-2}$$

Сократим \((x-2)\):

$$\frac{b(x+2)}{x^2+1} \cdot 4(x+1)$$ $$\frac{4b(x+2)(x+1)}{x^2+1}$$

Упростим числитель:

$$\frac{4b(x^2+3x+2)}{x^2+1}$$

Ответ: \(\frac{4b(x^2+3x+2)}{x^2+1}\)

---

б) Упростим выражение:

$$\frac{4y^4-4y^2}{y^2-y+1}:\frac{8y^4-8y^3}{2y^3+2}$$

Разложим на множители числитель первой дроби и числитель и знаменатель второй дроби:

$$\frac{4y^2(y^2-1)}{y^2-y+1}:\frac{8y^3(y-1)}{2(y^3+1)}$$ $$\frac{4y^2(y-1)(y+1)}{y^2-y+1}:\frac{8y^3(y-1)}{2(y+1)(y^2-y+1)}$$

Заменим деление умножением, перевернув вторую дробь:

$$\frac{4y^2(y-1)(y+1)}{y^2-y+1} \cdot \frac{2(y+1)(y^2-y+1)}{8y^3(y-1)}$$

Сократим:

$$\frac{4y^2(y-1)(y+1)}{y^2-y+1} \cdot \frac{2(y+1)(y^2-y+1)}{8y^3(y-1)} = \frac{(y+1) \cdot 2(y+1)}{2y}$$ $$\frac{(y+1)(y+1)}{y} = \frac{(y+1)^2}{y}$$ $$\frac{y^2+2y+1}{y}$$

Ответ: \(\frac{y^2+2y+1}{y}\)