√ 3-x²- √x³-5x²+6x √3-X + 1094x+1 (x²-5x²+6x+1) = 1

Для решения данного неравенства необходимо учитывать область определения логарифма и квадратных корней, а также привести неравенство к более простому виду.

1. Область определения:

• Под знаком квадратного корня должны быть неотрицательные выражения: $$3 - x \ge 0$$ и $$x^3 - 5x^2 + 6x \ge 0$$
• Основание логарифма должно быть положительным и не равным 1: $$4x + 1 > 0$$ и $$4x + 1
  e 1$$
• Выражение под логарифмом должно быть положительным: $$x^3 - 5x^2 + 6x + 1 > 0$$

2. Упрощение неравенства:

$$\frac{\sqrt{3-x} - \sqrt{x^3-5x^2+6x}}{\sqrt{3-x} + \log_{4x+1}(x^3-5x^2+6x+1)} \ge 1$$

Перенесем 1 в левую часть неравенства:

$$\frac{\sqrt{3-x} - \sqrt{x^3-5x^2+6x}}{\sqrt{3-x} + \log_{4x+1}(x^3-5x^2+6x+1)} - 1 \ge 0$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{\sqrt{3-x} - \sqrt{x^3-5x^2+6x} - (\sqrt{3-x} + \log_{4x+1}(x^3-5x^2+6x+1))}{\sqrt{3-x} + \log_{4x+1}(x^3-5x^2+6x+1)} \ge 0$$ $$\frac{- \sqrt{x^3-5x^2+6x} - \log_{4x+1}(x^3-5x^2+6x+1)}{\sqrt{3-x} + \log_{4x+1}(x^3-5x^2+6x+1)} \ge 0$$

Умножим числитель и знаменатель на -1:

$$\frac{\sqrt{x^3-5x^2+6x} + \log_{4x+1}(x^3-5x^2+6x+1)}{-\sqrt{3-x} - \log_{4x+1}(x^3-5x^2+6x+1)} \le 0$$

3. Решение неравенства:

К сожалению, аналитически решить данное неравенство достаточно сложно из-за наличия квадратных корней и логарифмов. Для точного решения потребуется использование численных методов или графических инструментов.

Однако, можно сделать некоторые выводы:

• При x = 0 числитель положителен, а знаменатель отрицателен, следовательно, неравенство выполняется.
• При x = 1 числитель и знаменатель принимают определенные значения, и можно проверить выполнение неравенства.
• При x = 2 числитель и знаменатель также принимают определенные значения, и можно проверить выполнение неравенства.
• При x = 3 знаменатель не определен, так как под корнем получается 0.

Для более точного решения рекомендуется построить графики функций числителя и знаменателя и определить интервалы, где неравенство выполняется.

Ответ: Аналитическое решение неравенства затруднительно, требуется использование численных методов или графических инструментов.