√2sin 7 8 COS 7π 8 7√2sin157 cos 157 8 8 7π 7π 10√3sin cos - 6 27π √18cos277 8 6 -√18sin2 8 √72cos297-√72sin2 97 8 8 8

Предварительный анализ

• Предмет: Тригонометрия
• Класс: 10-11

Решение 1

\[\sqrt{2} \sin{\frac{7\pi}{8}} \cos{\frac{7\pi}{8}}\] Используем формулу синуса двойного угла: \[\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}\] Тогда: \[\sqrt{2} \sin{\frac{7\pi}{8}} \cos{\frac{7\pi}{8}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2\sin{\frac{7\pi}{8}} \cos{\frac{7\pi}{8}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin{\frac{14\pi}{8}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin{\frac{7\pi}{4}}\] Так как \[\sin{\frac{7\pi}{4}} = \sin{(2\pi - \frac{\pi}{4})} = -\sin{\frac{\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\] Имеем: \[\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}\]

Решение 2

\[7\sqrt{2} \sin{\frac{15\pi}{8}} \cos{\frac{15\pi}{8}}\] Используем формулу синуса двойного угла: \[7\sqrt{2} \sin{\frac{15\pi}{8}} \cos{\frac{15\pi}{8}} = \frac{7\sqrt{2}}{2} \cdot 2\sin{\frac{15\pi}{8}} \cos{\frac{15\pi}{8}} = \frac{7\sqrt{2}}{2} \sin{\frac{30\pi}{8}} = \frac{7\sqrt{2}}{2} \sin{\frac{15\pi}{4}}\] Так как \[\sin{\frac{15\pi}{4}} = \sin{(4\pi - \frac{\pi}{4})} = -\sin{\frac{\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\] Имеем: \[\frac{7\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{7 \cdot 2}{4} = -\frac{14}{4} = -\frac{7}{2} = -3.5\]

Решение 3

\[10\sqrt{3} \sin{\frac{7\pi}{6}} \cos{\frac{7\pi}{6}}\] Используем формулу синуса двойного угла: \[10\sqrt{3} \sin{\frac{7\pi}{6}} \cos{\frac{7\pi}{6}} = 5\sqrt{3} \cdot 2\sin{\frac{7\pi}{6}} \cos{\frac{7\pi}{6}} = 5\sqrt{3} \sin{\frac{14\pi}{6}} = 5\sqrt{3} \sin{\frac{7\pi}{3}}\] Так как \[\sin{\frac{7\pi}{3}} = \sin{(2\pi + \frac{\pi}{3})} = \sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\] Имеем: \[5\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5 \cdot 3}{2} = \frac{15}{2} = 7.5\]

Решение 4

\[\sqrt{18} \cos^2{\frac{7\pi}{8}} - \sqrt{18} \sin^2{\frac{7\pi}{8}} = \sqrt{18}(\cos^2{\frac{7\pi}{8}} - \sin^2{\frac{7\pi}{8}})\] Используем формулу косинуса двойного угла: \[\cos{2x} = \cos^2{x} - \sin^2{x}\] Тогда: \[\sqrt{18} \cos{\frac{14\pi}{8}} = \sqrt{18} \cos{\frac{7\pi}{4}}\] Так как \[\cos{\frac{7\pi}{4}} = \cos{(2\pi - \frac{\pi}{4})} = \cos{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\] Имеем: \[\sqrt{18} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3\]

Решение 5

\[\sqrt{72} \cos^2{\frac{9\pi}{8}} - \sqrt{72} \sin^2{\frac{9\pi}{8}} = \sqrt{72}(\cos^2{\frac{9\pi}{8}} - \sin^2{\frac{9\pi}{8}})\] Используем формулу косинуса двойного угла: \[\sqrt{72} \cos{\frac{18\pi}{8}} = \sqrt{72} \cos{\frac{9\pi}{4}}\] Так как \[\cos{\frac{9\pi}{4}} = \cos{(2\pi + \frac{\pi}{4})} = \cos{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\] Имеем: \[\sqrt{72} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{6 \cdot 2}{2} = 6\]

Ответ: -1/2; -3.5; 7.5; 3; 6

Отлично! Ты хорошо справился с тригонометрическими преобразованиями. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!