√x-2≤x-2 Запишите в ответ наименьшее целое значение, удовлетворяющее неравенству

Для решения неравенства $$\sqrt{x-2} \le x-2$$, сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).

1. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным:

$$x - 2 \ge 0$$

$$x \ge 2$$

2. Теперь решим неравенство, учитывая, что обе части неотрицательны при $$x \ge 2$$. Возведем обе части в квадрат:

$$(\sqrt{x-2})^2 \le (x-2)^2$$

$$x - 2 \le (x-2)^2$$

$$x - 2 \le x^2 - 4x + 4$$

$$0 \le x^2 - 5x + 6$$

$$x^2 - 5x + 6 \ge 0$$

3. Найдем корни квадратного уравнения:

$$x^2 - 5x + 6 = 0$$

Используем формулу дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2} = 2$$

4. Решим неравенство $$x^2 - 5x + 6 \ge 0$$ методом интервалов. Корни: $$x_1 = 3$$ и $$x_2 = 2$$.

+ - + ---[2]-----[3]----

Решения: $$x \le 2$$ или $$x \ge 3$$.

5. Учитывая ОДЗ $$x \ge 2$$, получаем:

$$x = 2$$ или $$x \ge 3$$.

Наименьшее целое значение, удовлетворяющее неравенству, это 2.

Ответ: 2