Контрольные задания > √15-x + √3 - x = 6; 2) 1 + √1 + x√x² - 24 = x; 3) 24 + √x - 25 + √x = 1; 4) √x +34 - x - 3 = 1; 5) √x+1 - √9-x = √2x-12; 6) √x² +9 - √x2− 7 = 2; 7) √10-x² + √x² + 3 = 5; 8) 2 3√x + 5x-18 = 0; 9) x² - 4x - 6 = √2x² - 8x + 12; 10) √x + 2 – 3x + 2 = 0; 11) 4* - 10.2x-1 - 24 = 0; 12) (√) * + (13) *-10 = 84; lgx+5 13) x 3 = 105+1gx; 14) xlog4x = 23(log4x-1); 15) 16) 101+x2 -101-x2 = 99; 17) 51+x² - 51-x2 = 24; 2x +10 4 9 2x-2'; 18) 32x+4 + 45.6* - 9.22x+2 = 0; 19) 3-16x + 2.81* = 5.36*; 20) 5lgx = 50 - xlg5.
Вопрос:

√15-x + √3 - x = 6; 2) 1 + √1 + x√x² - 24 = x; 3) 24 + √x - 25 + √x = 1; 4) √x +34 - x - 3 = 1; 5) √x+1 - √9-x = √2x-12; 6) √x² +9 - √x2− 7 = 2; 7) √10-x² + √x² + 3 = 5; 8) 2 3√x + 5x-18 = 0; 9) x² - 4x - 6 = √2x² - 8x + 12; 10) √x + 2 – 3x + 2 = 0; 11) 4* - 10.2x-1 - 24 = 0; 12) (√) * + (13) *-10 = 84; lgx+5 13) x 3 = 105+1gx; 14) xlog4x = 23(log4x-1); 15) 16) 101+x2 -101-x2 = 99; 17) 51+x² - 51-x2 = 24; 2x +10 4 9 2x-2'; 18) 32x+4 + 45.6* - 9.22x+2 = 0; 19) 3-16x + 2.81* = 5.36*; 20) 5lgx = 50 - xlg5.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение: Решаем все представленные уравнения, используя различные алгебраические методы и преобразования.

  1. \(\sqrt{15-x} + \sqrt{3-x} = 6\)

    Показать пошаговое решение
    1. Уединяем один из радикалов: \(\sqrt{15-x} = 6 - \sqrt{3-x}\)
    2. Возводим обе части в квадрат: \(15-x = 36 - 12\sqrt{3-x} + 3-x\)
    3. Упрощаем: \(12\sqrt{3-x} = 24\)
    4. Делим на 12: \(\sqrt{3-x} = 2\)
    5. Возводим в квадрат: \(3-x = 4\)
    6. Решаем относительно x: \(x = -1\)

    Ответ: \(x = -1\)

  2. \(1 + \sqrt{1 + x\sqrt{x^2 - 24}} = x\)

    Показать пошаговое решение
    1. Уединяем радикал: \(\sqrt{1 + x\sqrt{x^2 - 24}} = x - 1\)
    2. Возводим обе части в квадрат: \(1 + x\sqrt{x^2 - 24} = x^2 - 2x + 1\)
    3. Упрощаем: \(x\sqrt{x^2 - 24} = x^2 - 2x\)
    4. Если \(x = 0\), то уравнение не выполняется. Делим на x: \(\sqrt{x^2 - 24} = x - 2\)
    5. Возводим в квадрат: \(x^2 - 24 = x^2 - 4x + 4\)
    6. Решаем относительно x: \(4x = 28\), \(x = 7\)

    Ответ: \(x = 7\)

  3. \(\sqrt[3]{24 + \sqrt{x}} - \sqrt[3]{5 + \sqrt{x}} = 1\)

    Показать пошаговое решение
    1. Пусть \(a = \sqrt[3]{24 + \sqrt{x}}\) и \(b = \sqrt[3]{5 + \sqrt{x}}\. Тогда \(a - b = 1\) и \(a^3 - b^3 = 19\).
    2. Используем формулу разности кубов: \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) = 19\)
    3. Так как \(a - b = 1\), то \(a^2 + ab + b^2 = 19\).
    4. Выражаем \(a\) через \(b\): \(a = b + 1\), подставляем в уравнение: \((b+1)^2 + (b+1)b + b^2 = 19\)
    5. Упрощаем: \(3b^2 + 3b + 1 = 19\), \(3b^2 + 3b - 18 = 0\), \(b^2 + b - 6 = 0\)
    6. Решаем квадратное уравнение: \(b = 2\) или \(b = -3\). Так как \(b = \sqrt[3]{5 + \sqrt{x}}\) должно быть положительным, то \(b = 2\).
    7. Тогда \(\sqrt[3]{5 + \sqrt{x}} = 2\), \(5 + \sqrt{x} = 8\), \(\sqrt{x} = 3\), \(x = 9\)

    Ответ: \(x = 9\)

  4. \(\sqrt[3]{x + 34} - \sqrt[3]{x - 3} = 1\)

    Показать пошаговое решение
    1. Пусть \(a = \sqrt[3]{x + 34}\) и \(b = \sqrt[3]{x - 3}\. Тогда \(a - b = 1\) и \(a^3 - b^3 = 37\).
    2. Используем формулу разности кубов: \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) = 37\)
    3. Так как \(a - b = 1\), то \(a^2 + ab + b^2 = 37\).
    4. Выражаем \(a\) через \(b\): \(a = b + 1\), подставляем в уравнение: \((b+1)^2 + (b+1)b + b^2 = 37\)
    5. Упрощаем: \(3b^2 + 3b + 1 = 37\), \(3b^2 + 3b - 36 = 0\), \(b^2 + b - 12 = 0\)
    6. Решаем квадратное уравнение: \(b = 3\) или \(b = -4\).
    7. Если \(b = 3\), то \(\sqrt[3]{x - 3} = 3\), \(x - 3 = 27\), \(x = 30\).
    8. Если \(b = -4\), то \(\sqrt[3]{x - 3} = -4\), \(x - 3 = -64\), \(x = -61\).

    Ответ: \(x = 30, x = -61\)

  5. \(\sqrt{x+1} - \sqrt{9-x} = \sqrt{2x-12}\)

    Показать пошаговое решение
    1. Возводим обе части в квадрат: \(x+1 - 2\sqrt{(x+1)(9-x)} + 9-x = 2x-12\)
    2. Упрощаем: \(10 - 2\sqrt{(x+1)(9-x)} = 2x-12\), \(-2\sqrt{(x+1)(9-x)} = 2x-22\)
    3. Делим на -2: \(\sqrt{(x+1)(9-x)} = 11-x\)
    4. Возводим в квадрат: \((x+1)(9-x) = (11-x)^2\)
    5. Раскрываем скобки: \(9x - x^2 + 9 - x = 121 - 22x + x^2\)
    6. Упрощаем: \(2x^2 - 30x + 112 = 0\), \(x^2 - 15x + 56 = 0\)
    7. Решаем квадратное уравнение: \(x = 7\) или \(x = 8\)
    8. Проверяем корни:
    9. \(x = 7\): \(\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{2}\) - верно
    10. \(x = 8\): \(\sqrt{9} - \sqrt{1} = \sqrt{4}\), \(3 - 1 = 2\) - верно

    Ответ: \(x = 7, x = 8\)

  6. \(\sqrt{x^2 + 9} - \sqrt{x^2 - 7} = 2\)

    Показать пошаговое решение
    1. Уединяем один из радикалов: \(\sqrt{x^2 + 9} = 2 + \sqrt{x^2 - 7}\)
    2. Возводим обе части в квадрат: \(x^2 + 9 = 4 + 4\sqrt{x^2 - 7} + x^2 - 7\)
    3. Упрощаем: \(12 = 4\sqrt{x^2 - 7}\)
    4. Делим на 4: \(3 = \sqrt{x^2 - 7}\)
    5. Возводим в квадрат: \(9 = x^2 - 7\)
    6. Решаем относительно x: \(x^2 = 16\), \(x = \pm 4\)

    Ответ: \(x = \pm 4\)

  7. \(\sqrt{10-x^2} + \sqrt{x^2 + 3} = 5\)

    Показать пошаговое решение
    1. Уединяем один из радикалов: \(\sqrt{10-x^2} = 5 - \sqrt{x^2 + 3}\)
    2. Возводим обе части в квадрат: \(10-x^2 = 25 - 10\sqrt{x^2 + 3} + x^2 + 3\)
    3. Упрощаем: \(-2x^2 - 18 = -10\sqrt{x^2 + 3}\), \(x^2 + 9 = 5\sqrt{x^2 + 3}\)
    4. Возводим в квадрат: \(x^4 + 18x^2 + 81 = 25(x^2 + 3)\)
    5. Упрощаем: \(x^4 - 7x^2 + 6 = 0\)
    6. Пусть \(y = x^2\), тогда \(y^2 - 7y + 6 = 0\). Решаем квадратное уравнение: \(y = 1\) или \(y = 6\).
    7. Если \(y = 1\), то \(x^2 = 1\), \(x = \pm 1\).
    8. Если \(y = 6\), то \(x^2 = 6\), \(x = \pm \sqrt{6}\).

    Ответ: \(x = \pm 1, x = \pm \sqrt{6}\)

  8. \(2\sqrt[3]{x} + 5\sqrt[6]{x} - 18 = 0\)

    Показать пошаговое решение
    1. Пусть \(y = \sqrt[6]{x}\), тогда \(\sqrt[3]{x} = y^2\). Уравнение принимает вид: \(2y^2 + 5y - 18 = 0\).
    2. Решаем квадратное уравнение: \(y = 2\) или \(y = -\frac{9}{2}\). Так как \(y = \sqrt[6]{x}\) должно быть положительным, то \(y = 2\).
    3. Тогда \(\sqrt[6]{x} = 2\), \(x = 2^6 = 64\).

    Ответ: \(x = 64\)

  9. \(x^2 - 4x - 6 = \sqrt{2x^2 - 8x + 12}\)

    Показать пошаговое решение
    1. Заметим, что \(2x^2 - 8x + 12 = 2(x^2 - 4x - 6) + 24\). Пусть \(y = x^2 - 4x - 6\). Тогда уравнение принимает вид: \(y = \sqrt{2y + 24}\).
    2. Возводим в квадрат: \(y^2 = 2y + 24\), \(y^2 - 2y - 24 = 0\).
    3. Решаем квадратное уравнение: \(y = 6\) или \(y = -4\).
    4. Если \(y = 6\), то \(x^2 - 4x - 6 = 6\), \(x^2 - 4x - 12 = 0\), \(x = 6\) или \(x = -2\).
    5. Если \(y = -4\), то \(x^2 - 4x - 6 = -4\), \(x^2 - 4x - 2 = 0\), \(x = 2 \pm \sqrt{6}\).

    Ответ: \(x = 6, x = -2, x = 2 \pm \sqrt{6}\)

  10. \(\sqrt{x + 2} - \sqrt[3]{3x + 2} = 0\)

    Показать пошаговое решение
    1. \(\sqrt{x + 2} = \sqrt[3]{3x + 2}\)
    2. Возводим обе части в шестую степень: \((x + 2)^3 = (3x + 2)^2\)
    3. Раскрываем скобки: \(x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = 9x^2 + 12x + 4\)
    4. Упрощаем: \(x^3 - 3x^2 + 4 = 0\)
    5. Замечаем, что \(x = -1\) является корнем: \((-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0\)
    6. Делим \(x^3 - 3x^2 + 4\) на \(x + 1\): \(x^3 - 3x^2 + 4 = (x + 1)(x^2 - 4x + 4)\)
    7. Упрощаем: \((x + 1)(x - 2)^2 = 0\)
    8. Корни: \(x = -1, x = 2\)

    Ответ: \(x = -1, x = 2\)

  11. \(4^x - 10 \cdot 2^{x-1} - 24 = 0\)

    Показать пошаговое решение
    1. Преобразуем: \((2^x)^2 - 5 \cdot 2^x - 24 = 0\)
    2. Пусть \(y = 2^x\), тогда \(y^2 - 5y - 24 = 0\)
    3. Решаем квадратное уравнение: \(y = 8\) или \(y = -3\). Так как \(2^x > 0\), то \(y = 8\)
    4. \(2^x = 8\), \(x = 3\)

    Ответ: \(x = 3\)

  12. \((\frac{5}{\sqrt{3}})^x + (\frac{10}{\sqrt{3}})^{x-10} = 84\)

    Это уравнение требует более сложных методов решения, которые могут включать логарифмирование или численные методы.

  13. \(x^{\frac{\lg x + 5}{3}} = 10^{5 + \lg x}\)

    Показать пошаговое решение
    1. Логарифмируем обе части (по основанию 10): \(\frac{\lg x + 5}{3} \lg x = 5 + \lg x\)
    2. Пусть \(y = \lg x\), тогда \(\frac{y + 5}{3} y = 5 + y\)
    3. Упрощаем: \(y^2 + 5y = 15 + 3y\), \(y^2 + 2y - 15 = 0\)
    4. Решаем квадратное уравнение: \(y = 3\) или \(y = -5\)
    5. Если \(y = 3\), то \(\lg x = 3\), \(x = 10^3 = 1000\)
    6. Если \(y = -5\), то \(\lg x = -5\), \(x = 10^{-5} = 0.00001\)

    Ответ: \(x = 1000, x = 0.00001\)

  14. \(x^{\log_4 x} = 2^{3(\log_4 x - 1)}\)

    Показать пошаговое решение
    1. Логарифмируем обе части (по основанию 4): \(\log_4 x \cdot \log_4 x = 3(\log_4 x - 1) \cdot \log_4 2\)
    2. \((\log_4 x)^2 = \frac{3}{2}(\log_4 x - 1)\)
    3. Пусть \(y = \log_4 x\), тогда \(y^2 = \frac{3}{2}(y - 1)\)
    4. \(2y^2 - 3y + 3 = 0\). Это уравнение не имеет вещественных решений.

  15. \(\frac{2^x + 10}{4} = \frac{9}{2^{x-2}}\)

    Показать пошаговое решение
    1. Умножаем обе части на \(4 \cdot 2^{x-2}\): \((2^x + 10) \cdot 2^{x-2} = 36\)
    2. \(2^{2x-2} + 10 \cdot 2^{x-2} = 36\)
    3. Пусть \(y = 2^{x-2}\), тогда \(y^2 + 10y - 36 = 0\)
    4. \(D = 100 - 4 \cdot (-36) = 100 + 144 = 244\)
    5. \(y_1 = \frac{-10 + \sqrt{244}}{2} \approx 2.85, y_2 = \frac{-10 - \sqrt{244}}{2} < 0\)
    6. Тогда \(2^{x-2} = \frac{-10 + \sqrt{244}}{2}\)
    7. \(x-2 = \log_2(\frac{-10 + \sqrt{244}}{2})\)
    8. \(x = 2 + \log_2(\frac{-10 + \sqrt{244}}{2})\)

    Ответ: \(x = 2 + \log_2(\frac{-10 + \sqrt{244}}{2})\)

  16. \(10^{1+x^2} - 10^{1-x^2} = 99\)

    Показать пошаговое решение
    1. \(10 \cdot 10^{x^2} - 10 \cdot 10^{-x^2} = 99\)
    2. Пусть \(y = 10^{x^2}\), тогда \(10y - \frac{10}{y} = 99\)
    3. \(10y^2 - 99y - 10 = 0\)
    4. Решаем квадратное уравнение относительно y.
    5. \(D = 99^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-10) = 9801 + 400 = 10201 = 101^2\)
    6. \(y = \frac{99 \pm 101}{20}\)
    7. Тогда \(y_1 = \frac{99 + 101}{20} = \frac{200}{20} = 10\)
    8. И \(y_2 = \frac{99 - 101}{20} = \frac{-2}{20} = -\frac{1}{10}\) не подходит, т.к. \(y = 10^{x^2} > 0\)
    9. \(10^{x^2} = 10\), \(x^2 = 1\)
    10. \(x = \pm 1\)

    Ответ: \(x = \pm 1\)

  17. \(5^{1+x^2} - 5^{1-x^2} = 24\)

    Показать пошаговое решение
    1. \(5 \cdot 5^{x^2} - 5 \cdot 5^{-x^2} = 24\)
    2. Пусть \(y = 5^{x^2}\), тогда \(5y - \frac{5}{y} = 24\)
    3. \(5y^2 - 24y - 5 = 0\)
    4. Решаем квадратное уравнение относительно y.
    5. \(D = 24^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-5) = 576 + 100 = 676 = 26^2\)
    6. \(y = \frac{24 \pm 26}{10}\)
    7. Тогда \(y_1 = \frac{24 + 26}{10} = \frac{50}{10} = 5\)
    8. И \(y_2 = \frac{24 - 26}{10} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}\) не подходит, т.к. \(y = 5^{x^2} > 0\)
    9. \(5^{x^2} = 5\), \(x^2 = 1\)
    10. \(x = \pm 1\)

    Ответ: \(x = \pm 1\)

  18. \(3^{2x+4} + 45 \cdot 6^x - 9 \cdot 2^{2x+2} = 0\)

    Показать пошаговое решение
    1. \(3^{2x} \cdot 3^4 + 45 \cdot 6^x - 9 \cdot 2^{2x} \cdot 2^2 = 0\)
    2. \(81 \cdot 9^x + 45 \cdot 6^x - 36 \cdot 4^x = 0\)
    3. Делим на \(4^x\): \(81 \cdot (\frac{9}{4})^x + 45 \cdot (\frac{6}{4})^x - 36 = 0\)
    4. Пусть \(t = (\frac{3}{2})^x\), тогда \(81 \cdot t^{2x} + 45 \cdot t^x - 36 = 0\)
    5. \(81 t^2 + 45t - 36 = 0\)
    6. \(9t^2 + 5t - 4 = 0\)
    7. \(D = 25 - 4 \cdot 9 \cdot (-4) = 25 + 144 = 169 = 13^2\)
    8. \(t = \frac{-5 \pm 13}{18}\)
    9. \(t_1 = \frac{-5 + 13}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}\)
    10. \(t_2 = \frac{-5 - 13}{18} = \frac{-18}{18} = -1\) не подходит, т.к. \(t = (\frac{3}{2})^x > 0\)
    11. Тогда \((\frac{3}{2})^x = \frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2 = (\frac{3}{2})^{-2}\)
    12. Значит, \(x = -2\)

    Ответ: \(x = -2\)

  19. \(3 \cdot 16^x + 2 \cdot 81^x = 5 \cdot 36^x\)

    Показать пошаговое решение
    1. Разделим обе части уравнения на \(36^x\).
    2. \(3 \cdot (\frac{16}{36})^x + 2 \cdot (\frac{81}{36})^x = 5\)
    3. \(3 \cdot (\frac{4}{9})^x + 2 \cdot (\frac{9}{4})^x = 5\)
    4. Пусть \(y = (\frac{4}{9})^x\), тогда \(3y + \frac{2}{y} = 5\)
    5. \(3y^2 - 5y + 2 = 0\)
    6. \(D = 25 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1\)
    7. \(y_1 = \frac{5 + 1}{6} = 1\)
    8. \(y_2 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{2}{3}\)
    9. Если \(y = 1\), то \((\frac{4}{9})^x = 1\), значит \(x = 0\)
    10. Если \(y = \frac{2}{3}\), то \((\frac{4}{9})^x = \frac{2}{3}\), \((\frac{2}{3})^{2x} = (\frac{2}{3})^1\), \(2x = 1\), \(x = \frac{1}{2}\)

    Ответ: \(x = 0, x = \frac{1}{2}\)

  20. \(5^{\lg x} = 50 - x^{\lg 5}\)

    Показать пошаговое решение
    1. Используем свойство: \(a^{\log_b c} = c^{\log_b a}\), то есть \(5^{\lg x} = x^{\lg 5}\)
    2. Тогда: \(x^{\lg 5} = 50 - x^{\lg 5}\)
    3. \(2 \cdot x^{\lg 5} = 50\)
    4. \(x^{\lg 5} = 25\)
    5. Логарифмируем обе части (по основанию 10): \(\lg (x^{\lg 5}) = \lg 25\)
    6. \(\lg 5 \cdot \lg x = \lg 25\)
    7. \(\lg x = \frac{\lg 25}{\lg 5} = \frac{\lg 5^2}{\lg 5} = \frac{2 \lg 5}{\lg 5} = 2\)
    8. \(\lg x = 2\), \(x = 10^2\)
    9. \(x = 100\)

    Ответ: \(x = 100\)

Ответ: Решения представлены выше.

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю