{√4-y+x+√9-2y+x=7 2x-3y=12

Прежде чем решать данную систему уравнений, необходимо определить область допустимых значений (ОДЗ) для переменных x и y, учитывая, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

• 4 - y + x ≥ 0
• 9 - 2y + x ≥ 0

Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt{4-y+x} + \sqrt{9-2y+x} = 7 \\ 2x - 3y = 12 \end{cases} $$

Выразим x через y из второго уравнения: $$ x = \frac{3y + 12}{2} $$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$ \sqrt{4 - y + \frac{3y + 12}{2}} + \sqrt{9 - 2y + \frac{3y + 12}{2}} = 7 $$

Упростим подкоренные выражения:

• $$ 4 - y + \frac{3y + 12}{2} = \frac{8 - 2y + 3y + 12}{2} = \frac{y + 20}{2} $$
• $$ 9 - 2y + \frac{3y + 12}{2} = \frac{18 - 4y + 3y + 12}{2} = \frac{-y + 30}{2} $$

Теперь уравнение выглядит так:

$$ \sqrt{\frac{y + 20}{2}} + \sqrt{\frac{-y + 30}{2}} = 7 $$

Чтобы избавиться от корней, возведём обе части уравнения в квадрат:

$$ \left( \sqrt{\frac{y + 20}{2}} + \sqrt{\frac{-y + 30}{2}} \right)^2 = 7^2 $$

$$ \frac{y + 20}{2} + 2 \sqrt{\frac{y + 20}{2} \cdot \frac{-y + 30}{2}} + \frac{-y + 30}{2} = 49 $$

$$ \frac{y + 20 - y + 30}{2} + 2 \sqrt{\frac{(y + 20)(-y + 30)}{4}} = 49 $$

$$ \frac{50}{2} + 2 \sqrt{\frac{-y^2 + 30y - 20y + 600}{4}} = 49 $$

$$ 25 + \sqrt{-y^2 + 10y + 600} = 49 $$

$$ \sqrt{-y^2 + 10y + 600} = 24 $$

Возведём обе части уравнения в квадрат ещё раз:

$$ -y^2 + 10y + 600 = 576 $$

$$ -y^2 + 10y + 24 = 0 $$

$$ y^2 - 10y - 24 = 0 $$

Решим квадратное уравнение относительно y. Дискриминант (D) равен:

$$ D = (-10)^2 - 4(1)(-24) = 100 + 96 = 196 $$

$$ \sqrt{D} = 14 $$

Корни уравнения:

• $$ y_1 = \frac{-(-10) + 14}{2} = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12 $$
• $$ y_2 = \frac{-(-10) - 14}{2} = \frac{10 - 14}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $$

Подставим значения y в выражение для x:

• Для y = 12: $$ x = \frac{3(12) + 12}{2} = \frac{36 + 12}{2} = \frac{48}{2} = 24 $$
• Для y = -2: $$ x = \frac{3(-2) + 12}{2} = \frac{-6 + 12}{2} = \frac{6}{2} = 3 $$

Проверим, удовлетворяют ли полученные значения ОДЗ:

• Для (x, y) = (24, 12):
  • 4 - 12 + 24 = 16 ≥ 0
  • 9 - 2(12) + 24 = 9 - 24 + 24 = 9 ≥ 0
• Для (x, y) = (3, -2):
  • 4 - (-2) + 3 = 4 + 2 + 3 = 9 ≥ 0
  • 9 - 2(-2) + 3 = 9 + 4 + 3 = 16 ≥ 0

Оба набора значений удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: (24, 12) и (3, -2)