4. ∠C=90°, PC = CM; CA = 8 см Найти: MP.

Рассмотрим решение задачи.

Дано: ∠C=90°, PC = CM, CA = 8 см.

Найти: MP.

Решение:

1. Т.к. PC = CM, то треугольник PCM - равнобедренный, следовательно, ∠CPM = ∠CMP.
2. Т.к. ∠C=90°, то треугольник PCM - прямоугольный.
3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, следовательно, ∠CPM = ∠CMP = 45°.
4. Т.к. CA = 8 см и ∠CAP = 90°, то треугольник CAP - прямоугольный и равнобедренный (∠C = 90°, ∠CPM = 45°).
5. Следовательно, CP = CA = 8 см.
6. Рассмотрим треугольник CPM. По теореме Пифагора: $$MP^2 = CP^2 + CM^2$$ Т.к. PC = CM = 8 см, то $$MP^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128$$ $$MP = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$$

Ответ: $$MP = 8\sqrt{2}$$ см.