74) ∫₀^π (3 sin 1/2 x) dx

Ответ: 6

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Находим первообразную функции \( f(x) = 3 \sin(\frac{1}{2}x) \). Первообразная \( F(x) \) для \( f(x) = 3 \sin(\frac{1}{2}x) \) будет равна: \[ F(x) = \int 3 \sin(\frac{1}{2}x) dx = 3 \int \sin(\frac{1}{2}x) dx \] Чтобы найти интеграл \( \int \sin(\frac{1}{2}x) dx \), можно использовать замену \( u = \frac{1}{2}x \), тогда \( du = \frac{1}{2} dx \), и \( dx = 2 du \). Следовательно: \[ \int \sin(\frac{1}{2}x) dx = \int \sin(u) (2 du) = 2 \int \sin(u) du = -2 \cos(u) + C = -2 \cos(\frac{1}{2}x) + C \] Таким образом, первообразная \( F(x) \) равна: \[ F(x) = 3 \cdot (-2 \cos(\frac{1}{2}x)) = -6 \cos(\frac{1}{2}x) \]
• Шаг 2: Применяем формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла: \[ \int_0^{\pi} 3 \sin(\frac{1}{2}x) dx = F(\pi) - F(0) = -6 \cos(\frac{1}{2}\pi) - (-6 \cos(\frac{1}{2} \cdot 0)) \] \[ = -6 \cos(\frac{\pi}{2}) + 6 \cos(0) = -6 \cdot 0 + 6 \cdot 1 = 0 + 6 = 6 \]

Ответ: 6