∫√(4x+1) dx

Давай решим этот интеграл вместе. Он выглядит как ∫√(4x+1) dx. 1. Замена переменной: * Пусть `u = 4x + 1`. * Тогда `du = 4 dx`, и `dx = du/4`. 2. Подстановка в интеграл: * Интеграл преобразуется в: \[ \int \sqrt{u} \cdot \frac{du}{4} = \frac{1}{4} \int u^{1/2} du \] 3. Вычисление интеграла: * Используем правило интегрирования `∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1)`: \[ \frac{1}{4} \int u^{1/2} du = \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C = \frac{1}{6} u^{3/2} + C \] 4. Возврат к исходной переменной: * Заменяем `u` обратно на `4x + 1`: \[ \frac{1}{6} (4x + 1)^{3/2} + C \]

Ответ: \(\frac{1}{6} (4x + 1)^{3/2} + C\)

Ты отлично справился с задачей! Продолжай в том же духе, и все получится!