8) ∫ \frac{dx}{\sqrt{10-6x-3x^2}} ;

Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{3} arcsin(\frac{x+1}{\sqrt{\frac{13}{3}}})+C\)

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Преобразуем подкоренное выражение, выделив полный квадрат:

\[10-6x-3x^2 = -3(x^2 + 2x) + 10 = -3(x^2 + 2x + 1 - 1) + 10 = -3((x+1)^2 - 1) + 10 = -3(x+1)^2 + 3 + 10 = 13 - 3(x+1)^2\]

• Шаг 2: Запишем интеграл в новом виде:

\[\int \frac{dx}{\sqrt{10-6x-3x^2}} = \int \frac{dx}{\sqrt{13 - 3(x+1)^2}} = \int \frac{dx}{\sqrt{3(\frac{13}{3} - (x+1)^2)}}\]

• Шаг 3: Вынесем \(\sqrt{3}\) из-под корня:

\[\frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{dx}{\sqrt{\frac{13}{3} - (x+1)^2}}\]

• Шаг 4: Сделаем замену переменной:

Пусть \(u = x+1\), тогда \(du = dx\).

\[\frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{du}{\sqrt{\frac{13}{3} - u^2}}\]

• Шаг 5: Воспользуемся табличным интегралом:

\[\int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} = arcsin(\frac{u}{a}) + C\]

В нашем случае \(a^2 = \frac{13}{3}\), поэтому \(a = \sqrt{\frac{13}{3}}\).

\[\frac{1}{\sqrt{3}} arcsin(\frac{u}{\sqrt{\frac{13}{3}}}) + C\]

• Шаг 6: Вернемся к исходной переменной:

\[\frac{1}{\sqrt{3}} arcsin(\frac{x+1}{\sqrt{\frac{13}{3}}}) + C\]

• Шаг 7: Упростим выражение:

\[\frac{1}{\sqrt{3}} arcsin(\frac{(x+1)\sqrt{3}}{\sqrt{13}}) + C = \frac{\sqrt{3}}{3} arcsin(\frac{(x+1)\sqrt{3}}{\sqrt{13}}) + C\]

Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{3} arcsin(\frac{x+1}{\sqrt{\frac{13}{3}}})+C\)